LAG
Z OI wiki
(→Testy v semestru) |
(→Zkoušky) |
||
(Není zobrazeno 7 mezilehlých verzí.) | |||
Řádka 18: | Řádka 18: | ||
== Studijní materiály == | == Studijní materiály == | ||
- | + | *[http://oi.hanx.cz/files/LAG/LAG_materialy.rar LAG materialy z internetu] | |
- | [http://oi.hanx.cz/files/LAG/LAG_materialy.rar LAG materialy z internetu] | + | *[http://math.feld.cvut.cz/olsak/linal.html Olšák, P.: Úvod do algebry, zejména lineární] |
- | + | *[ftp://math.feld.cvut.cz/pub/krajnik/vyuka/ua/linalgeb.pdf Pták, P.: Introduction to Linear Algebra (starší vydání přístupné elektronicky) (umístěno na FTP Katedry matematiky, delší načítání)] | |
- | [http://math.feld.cvut.cz/olsak/linal.html Olšák, P.: Úvod do algebry, zejména lineární] | + | *[http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/VideoLectures/index.htm Přednášky na MIT] |
- | + | *[[Diferenciální rovnice]] - poznámky z přednášek | |
- | [ftp://math.feld.cvut.cz/pub/krajnik/vyuka/ua/linalgeb.pdf Pták, P.: Introduction to Linear Algebra (starší vydání přístupné elektronicky) (umístěno na FTP Katedry matematiky, delší načítání)] | + | *[http://math.feld.cvut.cz/hroch/vyuka/materialy/vzor.pdf Vzorové písomky LAG] |
- | + | *[http://oi.hanx.cz/files/LAG/priklady_z_cviceni.pdf Vzorové příklady z cvičení + řešení] | |
- | [http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/VideoLectures/index.htm Přednášky na MIT] | + | *[http://kubaz.cz/mathpedie/matematika/#algebra Sbírka knih] |
- | + | *[http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/RepeatedEigenvalues.aspx Diferenciální rovnice] | |
- | [[Diferenciální rovnice]] - poznámky z přednášek | + | *[http://www.vscht.cz/mat/sbirka/KapitolaII4.pdf Diferenciální rovnice - příklady] |
- | + | ||
- | [http://math.feld.cvut.cz/hroch/vyuka/materialy/vzor.pdf Vzorové písomky LAG] | + | |
- | + | ||
- | [http://oi.hanx.cz/files/LAG/priklady_z_cviceni.pdf Vzorové příklady z cvičení + řešení] | + | |
- | + | ||
- | [http://kubaz.cz/mathpedie/matematika/#algebra Sbírka knih] | + | |
- | + | ||
- | [http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/RepeatedEigenvalues.aspx Diferenciální rovnice] | + | |
- | + | ||
- | [http://www.vscht.cz/mat/sbirka/KapitolaII4.pdf Diferenciální rovnice - příklady] | + | |
- | + | ||
<br /> | <br /> | ||
== Testy v semestru == | == Testy v semestru == | ||
+ | [https://drive.google.com/drive/folders/0B33G3DM4Z57ySWhIV2g3Mk5sWEU Testy a úkoly z minulých let] | ||
=== První test === | === První test === | ||
- | + | [http://oi.hanx.cz/files/LAG/09112015.pdf 9.11.2015] | |
=== Druhý test === | === Druhý test === | ||
+ | [http://oi.hanx.cz/files/LAG/A0B01LAG%20-%202.test.pdf 4.1.2016] | ||
== Zkoušky == | == Zkoušky == | ||
- | + | [https://drive.google.com/drive/folders/0B33G3DM4Z57yNDdsYUhHemxWa2s Zkoušky na Google drive] | |
=== Zkouška 31. 1. 2013 === | === Zkouška 31. 1. 2013 === | ||
[http://oi.hanx.cz/files/LAG/zkouska_lingebra-31-1-2013.pdf Zadání] | [http://oi.hanx.cz/files/LAG/zkouska_lingebra-31-1-2013.pdf Zadání] |
Aktuální verze z 18. 1. 2019, 20:11
|
Info o předmětu
- Přednášející: prof. RNDr. Pavel Pták, DrSc.
- Cvičící: Mgr. Michal Hroch, Mgr. Jana Šnupárková
Pravidla předmětu
Studijní materiály
- LAG materialy z internetu
- Olšák, P.: Úvod do algebry, zejména lineární
- Pták, P.: Introduction to Linear Algebra (starší vydání přístupné elektronicky) (umístěno na FTP Katedry matematiky, delší načítání)
- Přednášky na MIT
- Diferenciální rovnice - poznámky z přednášek
- Vzorové písomky LAG
- Vzorové příklady z cvičení + řešení
- Sbírka knih
- Diferenciální rovnice
- Diferenciální rovnice - příklady
Testy v semestru
První test
Druhý test
Zkoušky
Zkouška 31. 1. 2013
Zkouška 17. 1. 2013
1a) Najděte všechny kořeny polynomu P(x) víte-li, že má alespoň jeden celočíselný kořen.
P(x) = x^5 - x^4 + 81x - 81
Nápověda: V průběhu řešení je možno použít Moivreovu větu.
1b) V lineárním prostoru P^3 polynomů nejvýše třetího stupně je dána množina
M = { (x+2)^2, (x-1)^2, (x+3)^3, (x-3)^3, x, x+2 }
Ověřte, zda lineární obal M je roven prostoru P^3 a pokud ano, odeberte z množiny M takové vektory, aby výsledná množina tvořila bázi prostoru P^3.
2a) Zjistěte, pro která p ∈ R je matice A singulární. Určete hodnost matice A v závislosti na parametru p.
A =
2b) Vyřešte následující soustavu s neznámými x,y,z a parametry p,q.
px + qy + z = p qx + py + z = q
3a) Zobrazení l z lineárního prostoru polynomů nejvýše třetího stupně do lineárního prostoru matic typu 2 x 2 je dáno předpisem:
l(ax^3 + bx^2 + cx + d) = Napište jeho matici vzhledem k uspořádaným bazím B a C.
B = { x^3, x^3 + x^2, x^3 + x^2 + x, x^3 + x^2 + x + 1 } C = { , , , } S využitím této matice ukažte, že l je izomorfismus.
3b) Nechť l: L -> L' je lineární zobrazení. Dokažte: Pokud l není prosté, pak Ker(l) obsahuje nenulový vektor.
4a) Najděte normálovou rovnici roviny, která prochází danými dvěma body A a B a která je kolmá na danou rovinu p:
A = [-1, -2, 0], B = [1, 1, 2] p: X=[0, 1, 1] + t(2, -1, 0) + s(0, 1, -1), t,s ∈ R
4b) Ukažte, že matice je singulární, právě tehdy když má alespoň jedno vlastní číslo rovno nule.
Zkouška 30.1.2012
1a) Zjisti koreny P(x) = x^4 + 3x^2 + 2
1b) Matice M^3,3 antisymetricka A=|aij| aij=-aji dokaz lin.podprostor a najdi bazi M
2a) Soustava rovnic s parametrem
x +ay -z = 1 x -2y +3z = 2 x +y -az = 1
2b) Res soustavu
x1 + 3x3 - x3 = 3
3a) zobr. R3->R2
predpis: l(x1,x2,x,3)=(x1+x2-x3,2x1-x2) baze B = {(1,1-1),(0,2,1),(0,0,3)} B¨ = {(1,-1),(2,1)}
3b) Dokaz pokud l neni proste, pak Ker(l) neobsahuje nenulovy vektor
4a) Bod R symetricky k P podle roviny
P [-4,5,8] p: 3x - 3y -4z + 25 = 0
4b) Fundamentalni system
Zkouška 24.1.2012
Zkouška 23.1.2012
1a) Zjisti koreny P(x) = x^5 + x^4 + 81x + 81 (V prubehu je mozno pouzit Moivrovu vetu)
1b) Jsou dany LN vektory d,e,f -> d = a, e = a + b, f = a + b + c. Dokaz, ze i a, b, c jsou LN
2a) Diskutujte reseni v zavisloti na parametru a. x + y + az - 2u = -2
x + 2y + 2z +au = -3
2b) Je dana matice rozmeru n, ktera ma na vedlejsi diagonale -1, jinak je nulova. Vyjadrete determinant matice v zavislosti na n a oduvodnete.
3a) Zjisti Ker(l) a Im(l).
l(1,0,1) = (1,1,-1,0) l(0,-1,-1) = (1,0,2,1) l(0,0,-1) = (3,1,3,2)
3b) Dokaz, ze 3A^2 + A + E je podobne 3B^2 + B + E, vite li, ze A a B jsou podobne.
4a) Najdete symetricky bod bodu X[3,4,2] podle primky, na ktere lezi A[2,3,-3] a B[-4,1,-7].
4b) Reste dif. rce Pocatecni podminky x´(0) = (2,6,4)
Zkouška 16.1.2012
1a) Zkonstruujte realný polynom nejnižšího možného stupně, který má za kořeny čísla -2 (dvojnásobný kořen) a (1+i) (jednonásobný kořen)
1b) Čtvercová matice A, A náleží M(rozměry n,n) se nazývá magická, pokud pro A platí, že součet prvků na hlavní diagonále je roven součtu na vedlejší diagonále a tento součet je rovněž roven součtu prvků v každém řádku a každém sloupci. Označme Mag(rozměru n,n) množinu všech magických matic rozměru (n,n). Odůvodněte, proč Mag(n,n) je lineární podprostor prostoru M(n,n) a najděte dimenzi Mag(2,2)
2a) Řešte soustavu
x1 x2 x3 x4 1 -8 -13 9 = -9 4 -7 -12 11 = 4 3 1 1 2 = 13 2 -1 -2 3 = 6 1 2 3 -1 = 7
2b) Jsou dány 3 vektory a,b,c (náležící) R^3 v závislosti na parametru p (p náleží R). Určete všechny p taková, aby vektory a,b,c netvořily bázi R^3.
a = (1,p,1); b = (0,1,p); c = (p,1,0);
3a) Maticová rovnost XA = B, kde
(2,7,3) (1,0,2) A = ((3,9,4)) B = ((0,1,0)) (1,5,3) (0,0,1)
3b) Nechť A (náležící E^3) a p: X=B+t(a) (pro t náležící R a "a" náležící V3, "a" !=nulový vektor). Vzdálenost d(A,p) bodu od přímky se dá počítat podle formule:
|BA x a| d(A,p) = ------- (BA i obě a nad sebou mají šipku, jsou to vektory) |a|
Dokažte tuto formuli (vlastnosti vektorového součinu jen připomeňte).
4a) Předpokládejme, že lineární zobrazení l: R^4 -> R^3 má vůči standarním bázím matici zobrazení A.
(1,-1,0,2) A = ((2, 1,1,1)) (4,-1,1,5)
Určete bázi Ker(l) a Im(l).
4b) Dokažte následující tvrzení: Pokud jsou matice A,B podobné, pak jsou podobné i matice (A^2 + A + E) a (B^2 + B + E).
Zkouška 8.2.2011
1a Najít kořeny polynomu hornerovým schematem. Polynom se mi nějak nevešel na fotku, takže nevím, jak vypadal. Kořeny byla celá čísla.
1b Nechť L je lineární prostor, a vektory a, b, c jsou lineárně nezávislé vektory z L. Utvořme vektory
d = a - 3b + 2c, e = 2a + b - 4c, f = -2a +3b - c
určete, zda jsou vektory d, e, f lineárně závislé nebo nezávislé. Své kroky vysvětlete, strohý výpočet nestačí. Pokud používáte nějakou matematickou větu, zformulujte ji a ověřte její předpoklady.
2a řešte maticovou rovnost XA + X = O kde O je nulová matice (všude nuly) a
A =
Výpočítejte pomocí vhodné inverzní matice. Tu hledejte determinantovou metodou.
2b řešte soustavu bohužel nekvalitní fotka, nemůžu to přečíst. Byla to homogenní soustava 4 rovnic, 5 neznámých, hodnost myslím 3.
Tvoří množina všech řešení lin. podprostor R5? Pozor: otázka byla položena přesně takto, ale odpověď bylo potřeba i zdůvodnit.
3a Lineární zobrazení l: R2 -> R3. Vůči bázím B1:{(2, 1), (3, 2)} a B2: {(4, 2, -1), (3, 1, 3), (2, 1, 0)}
A =
Spočítat l(3, 1)
3b Definujte inverzní matici. Dokažte, že je určená jednoznačně.
4a Jsou dány body A, B, C: A = [3, 1, -2] B = [4, 2, 0] C = [-1, 3, -3]
dokažte, že tvoří trojúhelník a spočítejte jeho obsah. Nápověda: Veďte přímku AB a najděte vzdálenost přímky od C.
4b řešte soustavu diferenciálníc rovnic.:
A =
(není tam řetízek)
Zkouška 1.2.2011
1a P(x) = 5x^5 – 4x^4 + 80x + 16 Overit zda 1/5 je koren a pak najit všechny koreny.
1b Dokazat P(a) (nad tim celym je pruh) = P(a) (jen nad tim a je pruh)
2a najit reseni
2 6 6 9 | 7 -14 -2 6 -3 | -13 -7 4 9 6 | -2 3 4 3 6 | 6 -9 -2 3 -3 |-9
2b Spocitat determinant
Aii = i Aij = 2
|1 2 2 . . . 2 2| |2 2 2 . . . 2 2| |2 2 3 . . . 2 2| |. .. .| |. .. .| |2 2 . . . n-1 2| |2 2 . . . 2 n|
Je to matice n,n
3a
l(1,0,0) = (2,3) l(0,1,0) = (1,-2) l(0,0,1) = (-1,1)
overit zda je „na“ najit všechny vzory vektoru v=(3,1)
3b Matice typu (2,2) Plati l(X) det(X)
Dokazat, zda je zobrazeni linearni
4a Bodem A vest primku protínajíci a,b
A = [2,0,2] a: X = [3,-1,0] + s(1,-,1,0) b: Y = [3,3,-1] + t(1,1,-1)
4b
x1’ = -3x1 – x2 x2’ = x1 – x2
najit fundamentalni system
Zkouška 11.1.2011
1A Napsat koreny polynoma: (vysledky: 2, -3, 1+i, 1-i)
x^4 - x^3 -6x^2 + 14x -12
1B P5 je linearni prostor polynoma stupne <= 5. Necht' je P mnozina vsechnych polynoma z P5 ktery jsou delitelni s (x^2+1). Dokazte, ze je P linearni podprostor prostora P5.
2A Soustava s 5 nezamych a 4 rovnice (mela hodnotu 2)
2B Podobne jako vzor 3 / 2A, jenom tam bylo α misto -α pro B
3A Mame primky:
p: X = [2, -5, 1] + t(3,-2,-1) q: Y = [5, 5, 11] + u(2, 3, 5)
Dokazat ze jsou mimobezky a najit jeho pricku pres bodu M = [-4, -5, 3]
3B Pres souradnicich dokazte ze u x v je kolme na u, kde jsou u a v vektory z V^3
4A Linearne zobrazeni je dano predpisem:
l(0, 1, 1) = 3 l(0, 1, -1) = 1 l(2, 0, 1) = -1
Spocitat l(3, 4, 5). Najit bazy Ker(l) a Im(l).
4B Diferencialni rovnice:
x1' = x1 + 2x2 x2' = 2x1 + x2 x1(0) = -1; x2(0)=2
Zkouška 5.2.2010
To samé, co 3.2. :)
Zkouška 3.2.2010
1A Pomocou hornera zistite hodnotu polynomu v bode 3.
1B Dokážte, že v polynome
P(x) = a^6x^6 + a^5x^5 + .. + ax + a0
r deli a0, ak viete, ze r je koreň polynomu.
2A Normálna sústava rovníc o 5tich neznámich (3 riadky matice boli lin. závislé).
2B Na zákl. vlastností determinantu uvažujte hodnosť matice v závislosti na parametre p z R.
3A Maticová rovnosť AX=B.
3B Príklad podobný vzoru 2 / 3a) (http://math.feld.cvut.cz/hroch/vyuka/materialy/vzor.pdf)
4A Ako vzor 1/4a), neurčovalo sa či je zobraz. defin. korektne; ale spočítajte l(3,4,5) + nájsť bázu Ker(l) a Im(l).
4B Diferencialna rovnica, zadanie zo vzoru 2/pr.4b), pociatoč. podm. iné.
Zkouška 27.1.2010
1A Zostaviť polynom, ak viete že má korene 3 a 1+j
1B Nájsť bázu lineárneho priestoru matíc, ktoré mali tú vlastnosť, že súčet všetkých členov v ich riadku aj stĺpci aj na diagonálach bol rovnaký.
2A Normálna sústava rovníc o 5tich neznámich (3 riadky matice boli lin. závislé).
2B Boli zadané 4 vektory z R3 a každý mal jeden parameter - trebalo zistiť pre akú hodnotu parametra budú tie vektory LN.
3A Maticová rovnosť AX=B.
3B Dokázať vzorec na výpočet vzdielanosti bodu od priamky (Pták 4.5.3).
4A Nájsť kernel a image zobrazenia, ktoré bolo zadané normálnym predpisom.
4B Dokázať nejakú blbosť čo sa týkala podobnosti matíc :-).
Zkouška 25.1.2010
1A Užitím Hornera ukažte, že -2 je kořenem polynomu p(x)=x6+x5-11x4-13x3+26x2+20x-24 s násobností 3. Najděte všechny kořeny.
1B Ukažte,že neexistuje polynom, který by se rovnal funkci ex na celém R. Může se ex rovnat polynomu na něakém intervalu? (lze použít i výsledků diferencionálního počtu)
2A Řešení 3 rovin v závisloti na dvou parametrech.
2B Determinant matice, kde neznámá x byla pod diagonální maticí.
3A Zjistit pro jaká a existuje inverzní matice a tuto inverzní matici spočítat:
3B Dvě přímky, zjistit, zda jsou mimoběžky; určit, jak se musí změnit jeden z bodů, aby byly rovnoběžné.
4A Lineární transformace zadaná dvěma vektory a Ker(l). Zjistit obraz určeného vektoru a určit její matici (NUTNO DOPLNIT).
4B Řešit diferenciální rovnici x'= Ax, kde
Zkouška 22.1.2010
1A Užitím Hornera ukažte, že komplexní číslo j (komplexní jednotka) je kořenem polynomu p(x)=x4+3x2+2. Najděte všechny kořeny.
1B Je dán prostor antisymetrických matic 3x3 kde Aij=-Aij pro všechna i ≠ j. Jedná se o lineární podprostor prostoru všech matic 3x3? Najděte bázi.
2B Spočtěte determinant matice A (5x5 a má vyjít -997 myslim).
3A Lineární zobrazení z R3 do R3:
l(4,0,-1) = (1,-1,1)
l(3,-1,1) = (0,1,2)
l(1,2,3) = (1,1,5)
Najděte Ker(l). Patří (1,1,3) do Img(l) ? (nepatří btw...)
3B Zobrazení l:z L do L s čarou je prosté. a {b1,b2,...,bn} je báze L. Dokažte, že {l(b1),l(b2),...,l(bn)} je báze Img(l).
4A Jsou dány přímky :
p: [-5,5,1]+t(3,2,-2)
q: [9,0,2]+u(6,-2,-1)
Ukažte, že se jedná o různoběžky a určete jejich vzdálenost.
4B Je dána matice zobrazení (3x3):
Najděte fundamentální systém. (je tam řetízek).
Zkouška 15.1.2010
1A Užitím Hornera ukažte, že komplexní číslo j (komplexní jednotka) je kořenem polynomu (konkrétní polynom 6. stupně). Jsou další kořeny reálné?
1B a,b,c vektory z lin. prostoru L
d=a
e=a+b
f=a+b+c
dokažte, že <a,b,c>=<d,e,f>, (d,e,f jsou taky vektory), lze použít tvrzení o stabilitě lineárního obalu
2A klasická soustava 3 rovnice, 3 neznámé, pravá strana
pomocí A-1 najděte řešení a potvrďte ho Cramerem
2B soustava v R5 o jedné rovnici (s pravou stranou).
Vyřešte soustavu.
Je množina všech řešení lineární podprostor v R5? Zdůvodněte.
3A Je dáno zrcadlo (rovina) a 2 body M,N na téže straně zrcadla. Předpokládejme, že paprsek prochází bodem M. Ve kterém bodě se musí odrazit, aby procházel i bodem N?
3B V souřadnicích dokažte, že je kolmý na u. (u,v jsou vektory z V3, je vektorový součin)
4A Dána matice lin. zobrazení (R3->R2) typu 2,3, báze B (3 vektory z R3) a báze B' (2 vektory z R2). Určete Ker(l).
4B Dokažte, že relace podobnosti matice je tranzitivní.
Zkouška 13.1.2010
1A Napiš a dokaž Moivrovu větu
1B pomocí Moivrovi věty vypočti x na 4 + 16 = 0
2A soustava rovnic, měla defect 3, napsat řešení
2B jsou dvě matice s parametry, diskutujte hodnost C = B + A2 + A3 + ... + A7 v závislosti na parametru
3A Maticová rovnice ve tvaru XA = C zadané A i C vypočíst
3B víme, že číslo, číslo, číslo je dělitelné 19, aniž byste počítali determinat ukažte, že je dělitelný 19 - stejný příklad jako v těch návodných, jen ta matice byla transponovaná
4A bod, rovina, najít symetrický bod vzhledem k té rovině
4B soustava diferenciálních rovnic, ale jen dvě o dvouch. Bylo tam třeba vytvořit řetěz vlastních vektorů
Zkouška 11.1.2010
1A P(x)=x4 - x3 - 6x2 + 14x - 12 Viete ze tento polynom ma presne 2 cele korene, najdite vsechy korene
1B necht P5 je prostor polynomu so stupnom 5 alebo menej. nech P je podmnozina P5. a vsechny polynomy z P jsou delitelne polynomem (x2-1). Je P podprostor prostoru P5? zduvodnete.
2A rieste rovnicu AX + A + X= 0 kde 0 je nulova matica
2B sustava 3 linearnych rovnic (3 nezname) s parametrom a a b (klasika to iste troch rovin, ale bez geometrickecho chapania)
3A su dane 2 priamky a bod A , najdite priamku ktora pretina obe zadane priamky cez bod A
3B dokazte ze plati :
4A dane je linearne zobrazeni z R3 do R4. Najdite Ker(l)
l(1,0, 1) = (1,1,-1,0) |
4B rieste diferencialnu rovnicu x´=Ax, kde