Diferenciální rovnice

Z OI wiki

řešení soustavy diferenciální pomocí vlastních vektorů

Jedná se o poznámky z přednášek.

O metodě řešení soustavy diferenciální rovnic založené na vlastních vektorech (speciální případy)

$LaTeX: (e^{\lambda t})' = \lambda e^{\lambda t}$

$LaTeX: \vec u (t) = \begin{pmatrix}u_1(t)\\u_2(t)\\\vdots\\u_n(t)\end{pmatrix} \hspace{10mm} \vec u' (t) = \begin{pmatrix}u'_1(t)\\u'_2(t)\\\vdots\\u'_n(t)\end{pmatrix}$

Nechť $LaTeX: A=||a_{ij}|| \in M^{n,n}$ a měli bychom najít vektorovou funkci $LaTeX: \vec u (t)$ takovou, aby platilo

$LaTeX: \begin{array}{cc} u_1'(t) = a_{11} u_1 (t) + a_{12} u_2(t) + ... + a_{1n} u_n (t)\\ u_2'(t) = a_{21} u_1 (t) + a_{22} u_2(t) + ... + a_{2n} u_n (t)\\ \vdots\\ u_n'(t) = a_{n1} u_1 (t) + a_{n2} u_2(t) + ... + a_{nn} u_n (t) \end{array}$

$LaTeX: A\vec u (t) = \vec u' (t)$

Zkusíme

$LaTeX: \vec u (t) = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{pmatrix} - e^{\lambda t}$

$LaTeX: \begin{matrix}u_1(t) = v_1 e^{\lambda t}\\\vdots\\u_n(t) = v_n e^{\lambda t}\end{matrix}$

$LaTeX: \left( \text{ nezname } \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{pmatrix} \text{ ani } \lambda \right)$

$LaTeX: \vec u (t) = A \vec u' (t)$ dosadíme

$LaTeX: \lambda \vec v e^{\lambda t} = A (\vec v e^{\lambda t}) = (A \vec v) e^{\lambda t} \Rightarrow$ krátíme $LaTeX: e^{\lambda t} \Rightarrow (A-\lambda E)\vec v = \vec o$

$LaTeX: \vec v$ je vlastní vektor matice A příslušný k $LaTeX: \lambda$

z teorie diferenciální rovnic plyne: množina všech řešení této diferenciální rovnice tvoří lineární podprostor prostoru všech vektorových funkcí a jeho dimenze je rovna n

(Potřebuje n lineárně nezávislých řešení)

Věta (Pro různá reálná vlastní čísla):

Uvažujme soustavu (homogenní s konstantními koeficienty)

$LaTeX: \vec u'(t) = A \vec u (t) \hspace{10mm} \vec u(t) = \begin{pmatrix}u_1(t)\\\vdots\\u_n(t)\end{pmatrix};t \in \mathbb R$

Nechť $LaTeX: A \in M^{n,n}$ a nechť má n různých vlastních čísel $LaTeX: \lambda_1,...,\lambda_n$ . Předpokládejme, že $LaTeX: \vec v_1,...,\vec v_n$ jsou příslušné vlastní vektroy matice A. Pak množina vektorových funkcí $LaTeX: \{ \vec v_1e^{\lambda_1 t},\vec v_2e^{\lambda_2 t},...,\vec v_ne^{\lambda_n t} \}$ tvoří bázi prostoru řešení této soustavy (fundamentální systém).

Důsledek: Je-li $LaTeX: \vec u(t)$ řešení této soustavy, pak lze najít koeficienty $LaTeX: c_1,c_2,...,c_n$ tak, že $LaTeX: \vec u (t) = c_1\vec v_1e^{\lambda_1 t} + c_2\vec v_2e^{\lambda_2 t} + ... + c_n\vec v_ne^{\lambda_n t}$

Důkaz: Dá se ukázat, že soustava $LaTeX: \vec v_1e^{\lambda_1 t},\vec v_2e^{\lambda_2 t},...,\vec v_ne^{\lambda_n t}$ je lineárně nezávislá (to plyne z toho, že $LaTeX: e^{\lambda_1 t},e^{\lambda_2 t},...,e^{\lambda_n t}$ je lineárně nezávislé v prostoru funci - Vandermondův determinant)

Diferenciální rovnice

Z OI wiki

řešení soustavy diferenciální pomocí vlastních vektorů

Zobrazení

Osobní nástroje

Navigace

Přehled předmětů

Hledat

Nástroje