[ Zpět ]

# Úvod do Algebry — semestr

Z následující písemky psané v semestu se dá získat maxilmálně 10 bodů, které si pak sebou odnášíte ke zkoušce, která je bodovaná 40 body za písemku (minimum 20 pro postup do dalšího levelu) a 20 za ústní. Pro hodnocení dobře je nutné získat alespoň 25 bodů.

## RNDr. Kalousová

Následující zadání ve formátu PDF (54 kB) vhodné pro tisk.

Před vánočním volnem byla zveřejněna i řešení zadávaných příkladů, jsou dostupná tady. A pro případ, že by z webu záhadně zmizela, dovolil jsem si je u sebe ozrcadlit – [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ], [ 4 ].

Na řešení písemky bylo asi 60 minut, pokud to umíte je to v pohodě, ale pokud se musíte koukat do sešitu jak se co počítá je to dost málo. Tím chci říct, že opisovat a spolupracovat se dalo v celku v pohodě.

## Doc. RNDr. Eduard Krajník, CSc.

Toto bolo u doc. Krajnika. Vdaka Bohu je to uplny pohodar. Priklady co dava na cvikach su pomerne tazke, ale na rozdiel od Nentvicha (aspon co som pocul) na pisomku dava celkom slusne, ako uvidis, bolo mnozstvo zadani, ale zrejme vsetky rovnake, menili sa len ciselka:

1. Vypocitajte determinant inverznej matice. [bola 4x4 s parametrom a]
2. Kedy ma Ax=b
   1. 1 riesenie
   2. nekonecne vela rieseni
   3. ziadne riesenie
   [zadane boli A a b, s parametrom p]
3. Rieste maticovu rovnicu AX=B [zadana bola A (typu 4x3) a B (typ 3x2), bolo to pomerne huste
4. Bola dana baza B={b1,b2,b3}. Bolo treba dokazat ze c1=b1+b3, c2=b2+b3, c3=b1-b3 (neni som si isty ci presne takto to bolo zadane, ale princip je snad jasny) tvoria tie bazu. A bol zadany vektor x napr. (1,2,1) v baze B a mali sme vypocitat ake su jeho suradnice v baze {c1,c2,c3}
5. Mate priestor V obsahujuci vsetky riesenia sustavy rovnic [zadana sustava 2 rovnic o 5 neznamych). Urcte linearny obal V a dokazte ze je vektorovym podpriestorom dacoho. Sorry, toto zadanie si uz vazne nepamatam... :-(

Casu bolo dost vela -- robil som plno numerickych chyb a stihol som ich vsetky opravit a mal som este vyse polhodinky casu. Da sa to v pohode stihnut za 45 minut ak to viete a davate si pozor. Dufam ze to pomoze aspon trosku.

## Cviko u Olčy

    1. V lin. prostoru R^4 jsou dány podprostory W_1 = < u1, u2 >, W_2 = <v1. v2>,
    kde u1 = (1,1,1,0), u2 =(2,3,2,1), v1=(2,3,2,3) v2=(1,1,1,2).
    Nalezněte bázi a dimenzi podprostorů W1, W2, průnik W1 a W2, W1 + W2 (sjednocení).

    2. Napište definici lin. podprostoru W v lin. prostoru L. Rozhodněte, zda
    W podmožina R^3 je podprostor lin. prostoru R^3, je-li
    W = { (x,y,x) | x = sqrt(2)*y + sqrt(3) * z }

    3. Určete hodnoty parametru a z R, pro které je daná soustava lin. rovnic
    řešitelná:
                x1 + x2 + (1+a)x3 = a^2
    			x1 + (1+a)x2 + x3 = a
    			(1+a)x1 + x2 +x3 = 1

    4. Nechť u, v, w, jsou lin. nezávislé vektory v lin. prostoru L. Rozhodněte,
    zda následující vektory jsou lin. závislé či nezávislé.
        (3u + 4v +5w),(4u + 3v + 5w),(5u + 4v + 3w)

    5. Nechť A : R^2 -> R^2 je lineární zobrazení u1 = (1,2), u2 = (-3,2)
    A(u1) = (2,5), A(u2)=(0,1). Nalezněte všechna x = (x1, x2) tak, aby
    A(x1, x2) = (2, -1).

[ Zpět ]