[ Zpět ]

# Písemná zkouška z UA (Kalousová)

## Zadání 4. 2. 2003

    1. Najděte všechny matice X pro které AX = A - X

           ( 0 1 2 )
       A = ( 1 0 1 )
           ( 1 2 2 )

    2. Vektor má v bázi ((1,2), (3, 1)) souřadnice (-1,1). Určete
    jeho souřadnice v bázi ((-1,1),(1,1)).

    3. Určete vzájemnou polophu přímky AB a roviny určené body C, D, E.
    A = [ -2, 2, 7 ], B = [ -4, 3, 9 ], C = [ 3, -1, 5 ], D = [ 4, -2, 7 ],
    E = [ 2, -1, 3 ].

    4. Definujte pojem homogenní soustava lineárních rovnic. Ukažte, že
    množina všech řešení homodenní soustavy lineárních rovnic tovří lineární
    podprostor prostoru R^n, kde n je počet proměnných soustavy.

    5. Definujte pojem ortonormální báze. Nechť vektory x, y mají souřadnice
    (x1, x2, x3), (y1, y2, y3) vzhledem k nějaké ortonormální bázi.
    Dokažte, že pak skalární součin x.y = x1 . y2 + x2 . y2 + x3 . y3.

## Zadání 28. 1. 2003

    1. Řešte soustavu lin. Rovnice s rozšířenou maticí pro p z R.

         2 -1  1  1  | 1
         1  2 -1  4  | 2
         1  7 -4 11  | p

    Rešení: Dle Frobeinovi věty:
    	a) nemá řešení pro p z R - {5}
        b) má řešení pro p=5

        Jedno nehomogení (d=0, c=1, b=3, a=1)

        A dvě homogení - počet neznámích(4) mínus hodnota matice(2) což je dvě.
        a)d=0,c=1,b=0,a=1
        b)d=5,c=0,b=-7,a=6

    Výsledek:    (1,0,1,0 + <(1,3,5,0), (6,-7,0,5)>)

    2. Urcete dim(V+W) a dim(V prunik W)

    V = <(1,1,0,1) , (1,1,-1,1) , (1,1,-2,1)>
    W = <(3,3,-1,3) , (2,2,-3,2) , (1,2,1,1)>

    Řešení:  Hodnost matice A typu (m,n) je dimenze podprostoru Rn ,který je
    generován řádky matice

    Hod A = dim V = 2 Hod B = dim W = 3
    Hod C = dim (V + W) = 3

    Dle věty o dimenzi průniku:
       dim V + dim W = dim(V + W) + dim(V průnik W)

    Výsledek:  Dim(V průnik W) = 2

    3. Určete bod symetrický sbodem [-6,-1,-4] podle přímky určené body [8,4,3] a
    [4,2,0]

    Řešení:
       p: X = (8,4,3) + t(-4,-2,-3)
       q: -4x - 2y - 3z + d = 0
       -4(-6) -2(-1) -3(-4) + d = 0 =>  d = -38
       -4(8-4t) - 2(4-2t) - 3(3-3t) - 38 = 0  => t = 3

     Výsledek:

       Průsečík P = (-4 , -2 , -6)
       q: X = (-6,-1,-4) + t(2,-1,-2)    =>  t = 2: (-2,-3,-8) = Q´

    4. Definujte součin matic. Najděte protipříklad, který ilustruje neplatnost
    komutativního zákona násobení čtvercových matic.

    5. Nechť L1 , L2 jsou lin. prostory a A:L1---> L2 je lineární zobrazení. Nechť
    a1 ... an jsou LZ vektory L1 .Dokažte, že pak vektory A(a1)...A(an) jsou  LZ.

## Zadání 27. 1. 2003

    1. Pro všechna p náležící do R řešte homogenní  soustavu lineárních rovnic

        p   -2    1
        3   2p    -1
        p^2  1    p-1

    2. Jsou dána lineární zobrazení A : R^3 -> R^2 a
    B : R^2 -> R^3, pro která platí A(x1, x2, x3) = (x1+ 2x3, x1 + 2x2 - x3 ),
    B(x1, x2) = (x1 -x2, 2x1- x2, x1 - 2x2). Rozhodněte zda složené lineární
    zobrazení AoB : R^2 -> R^2 je prosté (zdůvodněte). Pokud ano, najděte
    matici inversního lineárního zobrazení (AoB)^-1 vzhledem ke standardním
    bazím. Pokud ne, najděte bázi a dimenzi jádra zobrazení (AoB).

    3. Určete bod symetrický s bodem [4, 1, -8] podle roviny
    určené body [-1, 6, 3], [2, 5, 4], [-2, -2, -4].

    4. Definujte hodnost matice. Nechť matice A je typu (2,2) a má hodnost 2.
    Uvažujte

               B = ( 1  1 )
                   ( 1  1 )

    Jakou hodnost má matice A*B?

    5. Nechť M a N jsou lineární podprostory lineárního prostoru L. Dokažte,
    že pak (M n N)je rovněž lineární podprostor L. Nechť

        M = <(1, 2, 2,),( 3, 6, 4,)>
        N = <(1, 0, 2,),( 3, 4, 2,)>

    Najděte bázi M n N.

## Zadání 23. 1. 2003

    1. Pro všechna p z R řešte soustavu lineárních rovnic s rozšířenou maticí
    soustavy

                (p   2   1 | 2)
                (p-1 p+1 1 | 1)
                (1   -2  -1| 0)

    2. Jsou dána lineární zobrazení A:R^3->R^2 a B:R^2->R^3, pro která platí
    A(x1,x2,x3)=(x1-2.x2+2.x3,x1+2.x2-x3) a B(1,1)=(3,3,-1),B(2,1)=(4,5,0). Najděte
    matici složeného lineárního zobrazení BoA:R^3->R^3 vzhledem ke standardním
    bázím.

    3. Určete bod symetrický s bodem [4,-6,-2] podle přímky určené body [-7,13,7] a
    [-4,7,3].

    4. Definujte pojem kořen polynomu. Nechť polynom P má celočíselné koeficienty a
    racionální kořen ve tvaru c/d, kde c a d jsou celá čísla. Dokažte, že pak c
    dělí absolutní člen polynomu P.

    5. Definujte lineární podprostor lineárního prostoru L. Nechť McL. Dokažte, že
    M je lineárním podprostorem právě tehdy, když <M>=M.

## Zadání 21. 1. 2003

## Zadání 15. 1. 2003

    1. Pro všechna p náležící do R řešte soustavu lineárních rovnic s rozšířenou
    maticí soustavy

      p  -4   -1  |  1
      4  -6   -3  |  1
      1   1   -p  | -1

    2. Najděte uspořádanou bázi B lineárního prostoru R^2 , takovou, že vektor u =
    (3,1) má vzhledem k ní souřadnice (-2,1) a vektor v = (-1,-2) má vzhledem k ní
    souřadnice (1,2).

    3. Určete vzájemnou polohu rovin

       ró: x + y - 2z - 2 = 0

       sigma: X = [-2,3,0] + r(-4,1,-1) + s(2,-5,-3)

       r,s náleží do R; včetně vzdálenosti, případně průsečnice a úhlu

    4. Definujte hodnost matice. Nechť matice A má čtyři řádky. Jednotlivé
    řádky jsou nenulové. Každá dvojice řádků je lineárně nezávislá, tři
    trojice jsou lineárně nezávislé, jedna trojice je lineárně závislá.
    Všechny čtyři řádky jsou lineárně závislé. Jakou má matice A hodnost?

    5. Definujte lineární podprostor lineárního prostoru L. Dokažte, že
    množina všech polynomů nejvýše pátého stupně je lineárním podporstorem
    lineárního prostoru všech polynomů.

## Zadání 14. 1. 2003

    1. Vyřešte soustavu rovnic zadanou maticí:

         P   1  -2 | 0
    	 3  P+1 -1 | 3
         2   1   1 | 3

    2. Jsou dána zobrazení A: R3 -> R2 a B: R2 -> R3.
      A (x1, x2, x3) = (x1+2x3, x1+2x2-x3),
      B (x1, x2, x3) = (x1-x2, 2x1-x2, x1-2x2)

    Rozhodněte, zda složení lineárního zobrazení B°A je prosté (zdůvodněte). Pokud
    ano, najděte matici inversního zobrazení (B°A)-1 vzhledem ke standardním bazím.
    Pokud ne, najděte bázi a dimenzi jádra zobrazení B°A.

    3.  Určete vzájemnou polohu dvou přímek AB, CD (včetně vzdálenosti, popř.
    průsečíku a úhlu). A = [1, 2, 3], B = [3, 1, 2], C = [1, 0, 0] D = [0, 1, 0]

    4. Definujete lineární závislost aritmetických vektorů. Nechť RN lineární
    prostor a M je počet vektorů. Dokažte, že pro M>N jsou vektory lineárně
    závislé.

    5. Definujte dimenzi lineárního prostoru nebo podprostoru. Nechť L je lineární
    a M je lineární podprostor. Dokažte, že platí dim L >= dim M.

## Zadání 13. 1. 2003

    1) pro vsechna p z R reste soustavu linearnich rovnic s rozsirenou
    matici soustavy
    ( p  -1   3  | -1)
    ( 1  -2   p  | -3)
    (-5   1  -7  |  0)

    2) urcete dim(V prunik W) a dim(V+W) jestlize vite,ze
    V=<(1,0,1,-1),(2,-1,0,2),(3,-1,1,1)>
    W=<(-1,2,0,1),(1,-1,-1,3),(0,1,2,-4)>

    3) urcete vzajemnou polohu primek AB,CD (vzadelnost nebo prusecik a
    uhel)
    A=[-1,1,1],B=[3,3,1],C=[-3,-5,-3],D=[-7,-12,-7]

    4) definujte inverzni matici a dokazte, ze ke kazde ctvercove matici
    A existuje matice inverzni <=> det A nerovna 0

    5) Definujte linearni zobrazeni.Uvedte priklad lin.zobr. A: R2->R2 a
    linerne nezavislych vektoru a,b z R2, pro ktere A(a),A(b) jsou
    linearne zavisle vektory.

# Zadání z minulého roku

## Zadání A.

    1. Reste soust. rovnic s rozsirenou matici soustavy (p je param.)

          (3	-5	2	4	| 2 )
          (p	-4	1	3	| 5 )
          (5	7	-4	6	| 4 )

    2.Urcete bazi a dimenzi prostoru tech. aritmeticky vektoru (x1,x2,...,x5) pro
    ktere plati:

     x1	  + x3 - 2x4 = 0
    2x1 + 2x2      -  x4 = 0

    3. Urcete vzajemnou polohu pr AB, CD, urcete vzdalenosti (uhel, nejakou usecku
    atd..)

    A=(2,1,1)	B=(0,3,1)	C=(1,1,4)	D=(1,0,2)

    4. a) definujte linearni zobrazeni

       ->   n                  n          ->  ->   ->
    b) a z R  je zobrazeni  A:R -> R  , A(x) = a . x, linearni? Dokazte.

    5.Definujte pojem singularni a regularni matice. Proc inverzni matice existuje
    pouze pro regularni matice?

## Zadání B.

    1. Najděte všechny matice, které komutují s maticí A:

    		A = (  1  2 )
    		    ( -1 -1 )

    2. Pro které hodnoty parametru p má soustava s maticí A patrně 1 řešení

        ( 1  p  1 -1 )
    A = ( 2  0  1  p )
        ( 1  1  1 -1 )
        ( 1  1  2  1 )

    3. Řešte v závislosti na parametru a

        x + y + z = 1
        x + ay    = 2
       3x + (2+a)y - az =5

    4. Určete dim(V průnik W), dim(V+W) kde
       V = <(1,0,1,1),(1,1,1,0),(1,2,1,-1)>
       W = <(2,1,2,1),(3,1,3,2),(1,1,1,1)>

    5. Definujte souřadnice vektoru vzhledem k upořádáné bázi.
       Jaké jsou souřadnice polynomu x^2 + 2x + 3 vhledem k uspořádání
       (1, x, x^2) ?

## Zadání C.

    1. Reste pro p z R:

    ( 1 -1  0  0 | 0 )
    ( 3  0  0 -2 | 2 )
    ( 0  0 -3  7 | 8 )
    ( 7 -1  3 -11| p )

    2. Najdete usporadanou bazi B lin. prostoru R^2 takovou ze vektor u=(3,3) v ni
    ma souradnice (1,1) a vektor v=(0,3) v ni ma souradnice (-2,-1).

    3. Urcete bod symetricky s bodem [3,-3,1] podle primky danou body [-2,2,-3],
    [-1,1,-1]

    4. Definujte inverzni matici a dokazte ze je urcena jednoznacne.

    5. Necht L1, L2 jsou lin. prostory a A: L1->L2 je lin. zobrazeni. a1 ... an
    jsou lin. zavisle vektory z L1. Dokazte ze A(a1) .. A(an) jsou take linearne
    zavisle.

## Zadání D.

    1. Najděte všechna netriviální řešení
       AX=pX, p náleží R, kde hledaná matice je typu (3, 1)

           ( 1 -1  0 )
       A = ( 0  1 -4 )
           (-1  0  4 )

    2. Vektor má bázi ((1, 3), (2, 1)) souřadnice (-6, 3). Určete
       souřadnice v bázi ((1, -1), (2, 1)).

    3. Vzájemná poloha přímek (včetně vzálenosti, průsečíku a úhlu). AB, CD. A =
       (2,1,1), B = (0,3,1), C = (1,1,4), D = (1,0,4).

    4. Definujte lineární závislost aritmetických vektorů. Nechť a1,..., an jsou
       aritmetické vektory (prvky R^m, kde m je přirozené číslo). Dokažte, že
       a1,..., an jsou lineárně závislé právě tehdu, když existuje číslo
       i = {1, ..., n}, takové že vektor ai je lineární kombinací vektorů aj,
       j = {1, ..., n}, j se nerovná i

    5. Definujte jádro lineárního zobrazení. Tvoří podprostor v prostoru vzorů
       (dokažte)?

## Zadání E.

    1. Najděte všechny matice, které komutijí s maticí A.

          A = ( 1  1 )
              ( 2  1 )

    2. Pro které hodnoty parametr p z R jsou vektory (1, -1, 0, p), (p, 2, 1, -2),
       (p-1, 5, 1, -1), (p, 2, 0, -p) lineárně závislé?

    3. Řeště v závislosti na parametru a z R.

             ax - y -  z  =  3
         (a-1)x     +  z  =  3
        (2a-1)x - y + az  =  6

    4. Určete dim(V průnik W), dim(V+W), kde
       W = <(1, 0, 0, 1), (1, 2, 1, 0), (1, 4, 2, -1)> a
       V = <(2, 2, 1, 1), (-1, -6, -3, 2), (1, 2, 1, 1)>.

    5. Definujte determinant matice. Co platí pro determinanty transponované a
       inverzní matice?

## Zadání F.

    1. Řešte soustavu rovnic s rozšířenou maticí soustavy (p je parametr)

              (  6   2  4-p | 4-p )
              ( p-1 p+1 p-1 | -4  )
              (  5   2  3-p | 2-p )

    2. Určete matici lineárního zobrazení A pro které je A(-1,4)=(-9,-3),
       A(2,1)=(0,6). Najděte obraz vektoru (1, 3) v tomto zobrazení.

    3. Vzájemná poloha přímek (včetně vzálenosti, průsečíku a úhlu). AB, CD.
       A = (-2,2,-1), B = (1,5,-1), C = (-1,4,2), D = (-2,4,5).

    4. Jak de definován stupeň polynomu? Nech polynom P má reálné koeficienty a
       lichý stupěň. Pak existuje alespoň jeden reélný kořen polynomu P. Dokažte.

    5. Formulujte větu o rozvoji determinantu podle řádku (bez důkazu). Uvažujte
      matici A typu (2, 2), která má všechny doplňky Dij; i, i = {1, 2} rovny
      jedné. Najděte všechny prvky matice A.

## Zadání G.

    1. Pro všechna p el. R řešte soustavu lineárních rovnic s rozšířenou maticí
    soustavy:

     ( 1-p ,  1  , -p |  0  )
     (  1  , 1-p ,  0 | p^2 )
     (  p  ,  -2 , 2+p|  p  )

    2. Jsou dána lineární zobrazení A: R3 -> R2 a B: R2 -> R3, pro která platí
    A(x1,x2,x3) = (x1-2x2+2x3, x1+2x2-x3) a B(x1,x1) = (x1+2x2,2x1+x2,x1-2x2).
    Rozhodněte, zda složené lineární zobrazení BoA: R3 -> R3 je prosté
    (zduvodněte). Pokud ano, najděte matici inversního lineárního zobrazení (BoA)-1
    vzhledem ke standartním bazím. Pokud ne, najděte bázi a dimensi jádra zobrazení
    (BoA).

    3. Určete bod symetrický s bodem [4,-4,1] podle roviny určené body [1,2,1],
    [2,1,-2], [-1,-1,2].

    4. Definujte součin matic. Najděte protipříklad, který ilustruje neplatnost
    komutativního zákona násobení čtvercových matic.

    5. Definujte pojem dimenze lineárního prostoru nebo podprostoru. Nechť M je
    lineárním podprostorem L a dimL = dimM je konečné číslo. Dokažte, že pak L = M.

## Zadání H.

    1. Pro a vypočtete det A a det A(-1)

        1 0 a a
        3 1 0 3
        a 1 0 a
        1 3 2 1

    Celkem v pohode pozor na podmínky!!! v det A^(-1)

    2. Najdete uporadanou bazi B linearniho zobrazeni prostoru R^(2),takovou, že
    vektor U = (2,3) ma k vzhledem k ni souradnice (1,1), a vektor V = (3,4) ma
    vzhledem k ni souradnice (1,2)

    Výpočet: (2,3)= 1(a,b) + 1(c,d)
             (3,4)= 1(a,b) + 2(c,d)
    Potom Baze B = ((a,b),(c,d))

    3. Určete vzájemnou polohu přímek AB, CD (vzdalenost, uhel, prusecik)
    A(-3,5,3), B(1,7,1), C(-5,4,-2), D(-9,2,-6)

    4. Necht M, N jsou linearni podprostory prostoru L dokažte, že M (prunik) N je
    rovnež linearní podprostor L. M=((1,2,2),(3,6,4)) N=((1,0,2),(3,4,2)) Najdete
    bazi M(prunik)N.

    5. Definujte pojem přidružená homogeni soustava linearnich rovnic. A neco
    kolem toho. Chtela napstat ty definice co jsou ve skriptech + zápis řešení
    soustavy.

## Zadání I.

    1) Urcete matici X : XA + B = A - XB

         (1 0 1 )    (0 -1  0)
      a= (1 2 0 )  b=(1  1 -1)
         (1 0 1 )    (1  0  0)

    2) Jsou dana linearni zobrazeni A: R^3 -> R^2 a B: R^2 -> R^3 pro ktera plati
    A(x1,x2,x3)=(x1+2x3,x1+2x2-x3) a B(1,2)=(-1,0,-3) B(2,1)=(1,3,0) Najdete
    matici slozeneho zobrazeni B°A : R^3 -> R^3 vzhledem ke standartnim bazim.

    3) Vzajemna poloha AB primky a roviny CDE A[-2,-3,1] B[-4,-4,3] C[4,-2,-2]
      D[6,-3,-1] E[2,-2,-3] Vcetne vzdalenosti porpipadne pruseciku a uhlu

    4) Definujte koren polynomu. Necht polynom P ma realne koeficienty a komplexni
    koren c dokazte ze pak i c(komplexne sdruzene) je korenem

    5) Definujte pojem reseni linearnich rovnic. Necht soustava Ax=b ma alespon 1
    reseni. Jak souvisi hodnost matice teto soustavy s hodnosti rozsirene matice
    soustavy. Zduvodnete.

## Zadání J.

    1. Pro všechna p el. R řešte soustavu lineárních rovnic s rozšířenou maticí
    soustavy:

     ( p ,  2 ,  1 | p  )
     ( 2 , -1 , -p | -3 )
     ( 1 , -3 , -2p| -4 )

    2. Určte dim(V n W) a dim (V + W), jestliže víte, že
    V = <(1,0,1,-1),(2,-1,0,2),(3,-1,1,1)>,
    W = <(-1,2,0,1),(1,-1,-1,3),(0,1,2,-4)>.

    3. Určete vzájemnou polohu rovin v: x-y+2z-4=0 a w:
    W=[-1,-4,1] + r(-4,-7,-1) + s(6,3,-3) (r,s el. R)
    (včetne jejich vzdálenosti, příp. prusecnice a úhlu).

    4. Definujte reálný polynom. Formulujte větu o částečném podílu dvou polynomu
    a dokažte jednoznačnost částečného podílu.

    5. Nechť L1, L2 jsou vektorové prostory a A:L1 -> L2 je lineární zobrazení.
    Definujte jádro zobrazení A a defekt. Muže se stát, že A má nulový defekt,
    jestliže dim L1 > dim L2? Zduvodněte.

## Zadání K.

    1) Pro p z R reste danou soustavu:

          (1-p, 1 ,-p )
          ( 1 ,1-p, 0 )
          ( p ,-2 ,2+p)

     Reseni: pro p=2 nema reseni
             pro p=0 ma nekonecne mnoho res <(-1,1,1)>
             pro p=/=0, p=/=2 ma reseni
             ( -p/p-2; p-p^2/p-2; 0 )

    2) Mate dve linearni zobrazeni:

        A(x1, x2, x2)=(x1-2*x2+2*x3; x1+2*x2-x3)
        B(x1, x2)=(x1+2*x2; 2*x1+x2; x1-2*x2)

    Je zobrazeni BoA proste? Je-li proste najdete inversni matici k matici
    zobrazeni BoA. Neni-li proste najdete bazi a dimenzi jadra BoA.

     Reseni: Neni proste, dim Ker=1, baze Ker = (-2,3,4)

    3) Najdete bod symetricky k bodu A dle roviny dane B,C,D. A=[4,-4,1]
    B=[2,1,-2] C=[-1,-1,2] D=[1,2,1] Reseni: X=[-4,0,-3] (prusecik roviny a primky
    [0,-2,-1]

    4) Definujte soucin matic. A najdte priklad, ktery ilustruje neplatnost
    komutativniho zakona pri nasobeni matic.

    5) Definujte dimezi li. prostoru nebo podprosoru. A ukazte, za je-li M
    podprostor L a je-li dimM=dimL pak M=L.

    Ustni:

    Chtela po mne definici linearniho prostoru a potom zadala
    predpis operaci a mel jsem zjistit jestli to je li. prostor.
    Bylo to neco jako f,g jsou funkce.
    f(x) + g(x) = max(f(x); g(x))
    alfa*f(x) = f(x)      alfa je z R
    Potom chtela definici korene polynomu. A co plati pro
    komplexni koreny realneho polynomu (a dukaz toho).

## Zadání L.

    1. Pro všechna p el. R řešte soustavu lineárních rovnic s rozšířenou maticí
    soustavy:

     ( 1-p ,  1  , -p |  0  )
     (  1  , 1-p ,  0 | p^2 )
     (  p  ,  -2 , 2+p|  p  )

    2. Jsou dána lineární zobrazení A: R3 -> R2 a B: R2 -> R3, pro která platí
    A(x1,x2,x3) = (x1-2x2+2x3, x1+2x2-x3) a B(x1,x1) = (x1+2x2,2x1+x2,x1-2x2).
    Rozhodněte, zda složené lineární zobrazení BoA: R3 -> R3 je prosté
    (zduvodněte). Pokud ano, najděte matici inversního lineárního zobrazení
    (BoA)-1 vzhledem ke standartním bazím. Pokud ne, najděte bázi a dimensi jádra
    zobrazení (BoA).

    3. Určete bod symetrický s bodem [4,-4,1] podle roviny určené body [1,2,1],
    [2,1,-2], [-1,-1,2].

    4. Definujte součin matic. Najděte protipříklad, který ilustruje neplatnost
    komutativního zákona násobení čtvercových matic.

    5. Definujte pojem dimenze lineárního prostoru nebo podprostoru. Nechť M je
    lineárním podprostorem L a dimL = dimM je konečné číslo. Dokažte, že pak L =
    M.

## Zadání M.

    1) Reste pro p z R:

    ( 1 -1  0  0 | 0 )
    ( 3  0  0 -2 | 2 )
    ( 0  0 -3  7 | 8 )
    ( 7 -1  3 -11| p )

    2) Najdete usporadanou bazi B lin. prostoru R^2 takovou ze vektor u=(3,3) v ni
    ma souradnice (1,1) a vektor v=(0,3) v ni ma souradnice (-2,-1).

    3) Urcete bod symetricky s bodem [3,-3,1] podle primky danou body [-2,2,-3],
    [-1,1,-1]

    4) Definujte inverzni matici a dokazte ze je urcena jednoznacne.

    5) Necht L1, L2 jsou lin. prostory a A: L1->L2 je lin. zobrazeni. a1 ... an
    jsou lin. zavisle vektory z L1. Dokazte ze A(a1) .. A(an) jsou take linearne
    zavisle.

## Zadání N.

    1. Pro a nalezi R vypoctete det a a det 1/a
           ( 1  0  a  1 )
        A= ( a  2  1  1 )
           ( 3  1  a  1 )
           ( a  0  1  0 )

    2. Rozhodnete zda linearni zobrazeni a, definovane predpisem A(ax^2+bx+c)=
    (a+b/x^2 +(a-b+c)x +2a+c je proste (zduvodnete) Pokud ano najdete matici
    inversniho zobrazeni 1/a vzhledem k usporadanym bazim(x^2,x,1) a (x^2,x,1).
    pokud ne, urcete bazi a dimenzi jadra zobrazeni a

    3. Urcete vzajemnou polohu primky AB a roviny urcene body C,D,E(vcetne jejich
    vzdalenosti, pripadne pruseciku a uhlu):a=[0,3,0] b=[1,2,-2] c=[-4,-1,4]
    d=[-3,0,4] e=[-6,-3,6]

    4. Definujte linearni zavislost aritmetickych vektoru necht a1..an jsou
    aritmeticke vektory(v R^n , kde n je prirozene cislo) dokazte ze a1..an jsou
    linearne zavisle prave tehdy kdyz  existuje cislo i(={1..n} takove ze vektor
    ai je linearni kombinaci vektoru aj, j (= {1..n} j=/=i

    neni to cely, ale lepsi nez dratem do voka

## Zadání O.

    1. matice s parametrem, byl jen jeden p
       (ax1  ax3     px3 |a)
       (ax1 (p-1)x3  ax3 |a)
       (ax1  ax3     ax3 |a)     a el. N  (nevim presne jaky to byli cisla)

    det(A)= (p-x)(p+y)

     reseni 3typy
      a] det(A) =/= 0 > pocitame podle Crameriava pravidla
          x1 = det(A1) / det(A)   kde det(A1) je prohozeni sloupce 1 s sloupcem 4
          X2 = det(A2) / det(A)   -,,-
          x3 = .....
      b] p=x
      c] p=y

    2. Zobrazeni vektoru u a v do baze, nevim presne zadani ale bylo to neco na
    principu

      (3,4) = 1(a,b),2(c,d)
      (2,1) = 2(a,b),1(c,d)

    baze ((a,b),(c,d))   nevim, jak je to presne....

    3. vzajemna poloha dvou primek (uhel a prusecik nebo vzdalenost)

    4. Definice LPP na L, a jestli plati: M el.LPP  a N el LPP >>  M prunik N a
    dokazat.

    5. Def matice prechodu a vse co s tim souvisi

[ Zpět ]