PSI
Z OI wiki
(Rozdíly mezi verzemi)
(→Písemka z 25. 1. 2011) |
m (→Písemka z 25. 1. 2011: srovnání vzhledu příkladů...) |
||
Řádka 192: | Řádka 192: | ||
'''Řešení:''' | '''Řešení:''' | ||
- | == Písemka z 25. 1. 2011 == | + | === Písemka z 25. 1. 2011 === |
--[[Uživatel:Zajacmic|Michal Zajačík]] 26. 1. 2011, 11:05 (UTC) | --[[Uživatel:Zajacmic|Michal Zajačík]] 26. 1. 2011, 11:05 (UTC) | ||
- | '''1)''' Profesor zapomíná v kavárně deštník s pravděpodobností 1/4 (za podmínky, že s ním dorazí). | + | '''1)''' Profesor zapomíná v kavárně deštník s pravděpodobností 1/4 (za podmínky, že s ním dorazí). Po návštěvě tří kaváren zjistil, |
- | + | že nemá deštník. Určete pravděpodobnost, že profesor deštník zapomněl právě v i-té kavárně, kde i = 1,2,3. | |
- | + | ||
- | '''Řešení:''' P(a1)=1/4 * 1 = 1/4 -> pravděpodobnost, že ho ztratil v první kavárně, podmíněná tím, že jej tam donesl, | + | '''Řešení:''' |
- | + | P(a1)=1/4 * 1 = 1/4 -> pravděpodobnost, že ho ztratil v první kavárně, podmíněná tím, že jej tam donesl, | |
- | + | ale protože je to první kavárna, donesl ho tam s pravděpodobností 1. | |
- | + | P(a2)=(1-1/4)*1/4 -> pravděpodobnost, že ho ztratí v druhé podmíněná tím, že ho neztratil v první. | |
- | + | P(a3)=(1-1/4)*(1-1/4)*1/4 -> pravděpodobnost, že ho ztratil v třetí podmíněná tím, že ho neztratil v první ani v druhé. | |
- | + | P(a)=P(a1)+P(a2)+P(a3) -> pravděpodobnost, že ho vůbec někde zapomněl, nás zajímají podmíněné pravděpodobnosti: | |
- | + | <math>$$P(a1|a)=P(a1\cap a)/P(a)=P(a1)/P(a)$$</math> -> pravděpodobnost, že ho nechal v první za podmínky, že ho vůbec zapomněl, | |
- | + | za využití toho, že <math>$$a1\subset a$$</math>. | |
- | + | <math>$$P(a2|a)=P(a2\cap a)/P(a)=P(a2)/P(a)$$</math> -> pravděpodobnost, že ho nechal v druhé za podmínky, že ho vůbec zapomněl | |
+ | <math>$$P(a3|a)=P(a3\cap a)/P(a)=P(a3)/P(a)$$</math> -> pravděpodobnost, že ho nechal v třetí za podmínky, že ho vůbec zapomněl | ||
Řádka 213: | Řádka 213: | ||
Uveďte použité předpoklady a výsledek vyjádřete ve tvaru F(x) pro nějakou distribuční funkci F. | Uveďte použité předpoklady a výsledek vyjádřete ve tvaru F(x) pro nějakou distribuční funkci F. | ||
- | + | '''Opravené Řešení:''' | |
- | + | Veličina X: čekání jedné jízdy, má rovnoměrné rozdělení na <0,3>. Veličina Y | |
- | + | je součet 23*2 rovnoměrných rozdělení X, takže dle centrální limitní věty konverguje k normovanému normálnímu | |
- | + | rozdělení. Odhadneme DY a EY (za pomocí vzorců pro rovnoměrné rozdělení veličiny X), | |
- | + | dále pracujeme dle CLV a distribuční funkce normovaného normálního rozdělení: | |
- | + | ||
- | + | <math>$$EY=(23*2)*EX=46*1,5=69$$</math> | |
- | + | <math>DY=46*DX=46*1/12(3-0)^2=34,5$$</math> | |
- | '''Chybné Řešení:''' Každý den jezdíte tam i zpět, takže denně čekáte 0-6 minut. Předpokládejme, že veličina X (čekání jeden den), | + | <math>$$\Phi((80-EY)/\sqrt{DY})=\Phi((80-69)/\sqrt{34.5})=\Phi(1.872)$$</math> |
- | + | ||
- | + | -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | |
- | + | ||
- | + | '''Chybné Řešení:''' | |
- | + | Každý den jezdíte tam i zpět, takže denně čekáte 0-6 minut. Předpokládejme, že veličina X (čekání jeden den), | |
- | + | má rovnomerné spojité rozdělení na <0,6>. Veličina Y (čekání za 23 dnů) má tedy také rovnoměrné spojité rozdělení, ale na <0,138>. | |
+ | Dále se odhadne odchylka a střední hodnota veličiny Y (podle vzorečků k rovnoměrnému rozdělení). | ||
+ | Protože veličina Y je součet 23 rovnoměrných rozdělení, pak podle centrální limitní věty konverguje k normálnímu rozdělení. | ||
+ | Takže vezmete vzorec distribuční funkce obecného normálního rozdělení, | ||
+ | do něj dáte hodnoty průměru a rozptylu a vypočítáte hodnotu v bodě 80. | ||
+ | |||
/* Neni tu nahodou chyba? Prece soucet 23 rovnomernych rozdeleni X neni rozvomerne rozdeleni, | /* Neni tu nahodou chyba? Prece soucet 23 rovnomernych rozdeleni X neni rozvomerne rozdeleni, | ||
ale Normalni = N(23m,23s^2). Takze zadne Y na <0,138> tam nevznikne. Nebo se mylim? (Dima) | ale Normalni = N(23m,23s^2). Takze zadne Y na <0,138> tam nevznikne. Nebo se mylim? (Dima) | ||
Řádka 244: | Řádka 249: | ||
Opakuji, že tato část je nejspíše dobře, neb mi to opravující neškrtl, ale bodově ohodnotil. | Opakuji, že tato část je nejspíše dobře, neb mi to opravující neškrtl, ale bodově ohodnotil. | ||
--[[Uživatel:Zajacmic|Michal Zajačík]] 27. 1. 2011, 21:31 (UTC) | --[[Uživatel:Zajacmic|Michal Zajačík]] 27. 1. 2011, 21:31 (UTC) | ||
- | + | ||
- | + | /* Navara pise na svych strankach: "Součet (resp. výběrový průměr) z rovnoměrného rozdělení má rovnoměrné rozdělení." - | |
- | + | Doufám, že takové hlouposti jste v kursu nepotkali, a pokud ano, upozorněte mě. MN" | |
- | + | PROOF:http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/psi/ -> aktuality (Dima) | |
- | + | -> máte pravdu, moje chyba. Stačí si představit součet hustot dvou rovnoměrných rozdělení. | |
- | + | Ten pak není rovnoměrný ani náhodou. Opravil jsem řešení, tak, jak by to mělo vypadat. --[[Uživatel:Zajacmic|Michal Zajačík]] 28. 1. 2011, 11:28 (UTC) | |
- | + | ||
- | + | /*Díky, tady na té stránce je toho víc o součtu(konvoluci) náhodných veličin. | |
- | + | http://www.kmt.zcu.cz/person/Kohout/info_soubory/zimnisemestr/SS/pravd5.pdf Pro dumavé hlavy. Pro dvě náhodné veličiny dává | |
- | + | součet 2 náhodných veličin s rovnoměrným rozdělením nějaké Simpsonovo rozdělení - trojúhelník. Pro více to jde k normálnímu. | |
- | + | Jirka Blecha | |
- | + | ||
'''3)''' Určete rychlost entropie markovského zdroje informace popsaného uvedeným diagramem, kde entropii uvažujte v podobě | '''3)''' Určete rychlost entropie markovského zdroje informace popsaného uvedeným diagramem, kde entropii uvažujte v podobě | ||
Řádka 268: | Řádka 272: | ||
\end{array} \right)$$</math> | \end{array} \right)$$</math> | ||
- | '''Řešení:''' Nalezl se stabilní stav, kde hodnoty ve vektoru byly závislé na <math>$$\alpha$$</math>. Z toho se spočítala rychlost entropie, | + | '''Řešení:''' |
- | + | Nalezl se stabilní stav, kde hodnoty ve vektoru byly závislé na <math>$$\alpha$$</math>. Z toho se spočítala rychlost entropie, | |
- | + | díky prvnímu a poslednímu řádku (při počítání entropie vyjdou nuly - diracovo rozdělení) to nějak hezky vyšlo, dostali jste | |
+ | funkci rychlosti zdroje na parametru <math>$$\alpha$$</math>. Zderivovat podle <math>$$\alpha$$</math>, položit rovno 0, hledat maximum. | ||
'''4) (Bonus)''' Dokažte následující tvrzení: jsou-li A1,...,An nezávislé jevy, pak | '''4) (Bonus)''' Dokažte následující tvrzení: jsou-li A1,...,An nezávislé jevy, pak | ||
<math>$$P(\bigcup_{i=1}^n A_i) = 1 - \prod_{i=1}^n (1 - P(A_i)).$$</math> | <math>$$P(\bigcup_{i=1}^n A_i) = 1 - \prod_{i=1}^n (1 - P(A_i)).$$</math> | ||
- | + | '''Řešení:''' | |
- | + | Jevy nezávislé, tudíž <math>$$P(\bigcap_{i=1}^n A_i) = \prod_{i=1}^n P(A_i).$$</math> | |
+ | Dále: <math>$$P(\bigcup_{i=1}^n A_i) = \overline{P(\bigcap_{i=1}^n \overline{A_i})}=1 - P(\bigcap_{i=1}^n \overline{A_i})=1 - \prod_{i=1}^n P(\overline{A_i})=1 - \prod_{i=1}^n (1 - P(A_i)).$$</math> Q.E.D. |
Verze z 29. 1. 2011, 17:16
|
|
Info o předmětu
- Přednášející: prof. Ing. Mirko Navara, DrSc.
- Cvičící: M. Petrík, L. Netnvich, T. Kroupa
Pravidla předmětu
Studijní materiály
Závěrečné konzultační cvičení s prof. Navarou - poznámky (20. 12. 2010 14:30, bez záruky)
Zkoušky
Pisemka z 4.1. 2011
1) V populaci je infikovana 1/4 jedincu, ale jen u 2/3 se nakazka projevuje (a u zadnych neinfikovanych). Jaka je pravdepodobnost, ze jedinec bez priznaku neni infikovany? Řešení: výsledek je 9/10
2) Gen se vyskytuje ve 4 variantach A, B, C, D. Model predpoklada, ze B se vyskytuje 3x casteji nez A a D 3x casteji nez C. Odhadnete jejich pravdepodobnost na zaklade zjistenych cetnosti v tabulce. (nesmi se resit pomoci momentu (nenumericka data)) Řešení: Urci se, kolik by mely ty pravdepodobnosti teoreticky byt, tedy: , , a Jelikoz soucet pravdepodobnosti ma byt jedna, tak se muze spocitat treba c - vyjde to myslim a pak se sestavi ta verohodnost tj. to se zlogaritmuje jelikoz se s tim lip pocita: zderivujeme, položíme rovno nule (hleda se maximum) a vyjde hodnota parametru 'a' (myslim ze to vyjde 5), dosadi se do tech teoretickych pravdepodobnosti a to je vysledek. /* Mne vyslo A=0,078125 B=0,234375 C=0,171875 a D=0,515625 Jeste nekomu to vyslo takhle? (souhlas, Venca H) /* tak zaprvé myslim, že je špatná úvaha a zadruhé P(A)=P(D)=P(B/3), nikoly P(D)=3c ??? pokud nesouhlasite tak prosim vysvětlit.. /* Asi te zmatla formulace ulohy. Máš to chápat jako: Model predpoklada, ze B se vyskytuje 3x casteji nez A a dale model predpoklada, ze D se vyskytuje 3x casteji nez C. (Ondra J.)
3) Uvazujte Markovuv retezec se stavy a matici prechodu Urcete odpovidajici markovsky zdroj informace nad abecedou a stanovte jeho rychlost entropie. Řešení: /* vyšlo mi 0,3788804571 */ // Zvlastni, mne vyslo 0,295 a pocatecni rozdeleni p=(4/11;4/11;3/11) no a stredni podminena entropie (coz je ta rychlost entropie) se rovna pouze 4/11*H(1/4,3/4) pac ty ostatni radky jsou diracovo rozdeleni. Jeste nekomu to tak vyslo? (souhlas s 0,295, Venca H)
4) Bonus: Jak by mohl vypadat popis poctu obeti dopravnich nehod pomovci Markovova retezce a klasifikace jeho stavu? Řešení:
Pisemka z 13.1. 2011
1) Máme tři modely rozdělení X,Y,Z dané tabulkou: Určete, který z modelů je nejlepší podle realizace: Řešení: Tohle jsem nemel, ale co jsem koukal jinam tak se spocitala cetnost podle pravdepodobnosti a pak se porovnavala(nejak) s cetnosti z realizace. Mam pocit ze Z vychazi nejlip (souhlas se Z) /* Co pouzit metodu (maximalni) verohodnosti? Nejvic bude sedet rozdeleni s nejvetsi verohodnosti. Nekomu takovyhle postup Navara uznal? --Jelinond 23. 1. 2011, 23:25 (UTC) // Při zkoušce jsem ji zkoušel, ale nemohl jsem se dopočítat (asi chyba v postupu). Možná by se dal použít 'selský rozum' typu: SUMA[ (četnost/pravděpodobnost) ]/4, která musí být co nejblíže součtu četností (100) --Hanx 25. 1. 2011, 20:33 (UTC)
2) Zda bude pršet zítra je dané pouze tím,zda prší dnes. Dána matice přechodu: kde 0.7 je pravděpodobnost, že bude pršet zítra pokud pršelo dnes a 0.4 je pravděpodobnost, že bude pršet zítra pokud dnes nepršelo. Vypočítejte pravděpodobnost, že bude pršet za 4 dny pokud dnes pršelo Řešení: nasobit matici (1,0) 4x matici pravdepodobnosti nebo rozkreslit jako strom (také uznáno :)) ) výsledek: 0,5749
3) Bakterie 1 má pravděpodobnosti v DNA: P1(C)=P1(G)=0.355 P1(A)=P1(T)=0.145 Bakterie 2: P2(C)=P2(G)=P2(A)=P2(T)=0.25 Rozhodněte, která bakterie je složitější (z hlediska informace na stejně dlouhém úseku DNA) Řešení: Pres entropii, zase si nejsem vysledky jist, ale ta s mensi entropii je slozitejsi (nebo tak nejak to vysvetloval pri predavani vysledku) // Zde si dovolím nesouhlasit: složitější je ta s větší entropíí (ta druhá), neboť nám poskytne větší míru informace.
4) Bonus: X je náh.veličina, platí EX^2 < nekonečno. Dokažte, že pro každé a z R platí E(X - EX)^2 je menší nebo rovno E(X - a)^2 Řešení: Jednoduche upravy ze skript nakonec vyjde Neco^2 vetsi, rovno nez 0 coz plati
Pisemka z 20.1. 2011
1) Házíme mincí na čáru; náhodná veličina X udává vzdálenost hozené mince od čáry. Její rozdělení pravděpodobnosti je dáno hustotou: f(x) = 1-(x/2) pokud x patří do <0;2>, 0 pokud x>2. Náhodná veličina Y = 1/x udává výhru (zisk) z jednoho hodu. Jaké je rozdělení (střední hodnota, rozptyl) náhodné veličiny Y? Řešení: Na tehle pisemce jsem sice nebyl, ale zkusim nastinit reseni(snad i spravny:D). Nejpve zintegrujeme hustotu, cimz ziskame distribucni funkci. K te nasledne vytvorime funkci inverzni, tedy funkci kvantilovou. Tu zobrazime funkci h(u) = 1/u. Integralem dopocitame stredni hodnotu.(radeji to nekdo overte)
2) V cyklu délky 4 (viz obrázek) v každém rohu nezávisle vybereme postup po směru hod. ručiček s pravděpodobností 2/3, v opačném směru s pravděpodobností 1/3. Stanovte pravděpodobnosti stavů po 4 krocích, jestliže počáteční stav je 1. (obrázek byly 4 prázdný kolečka spojený čarama tak, že tvořily čtverec) Řešení: matici (1,0,0,0) jsem 4x násobil maticí přechodu, vyšlo mi (41/81,0,40/81,0) (Pavel S.)
3) Morseova abeceda používá 3 znaky: "tečka", "čárka", "mezera". Předpokládejme, že pravděpodobnosti jejich výskytu ve zprávě jsou po řadě 0.4, 0.4, 0.2 a jsou nezávislé. Navrhněte binární Huffmanův kód a jeho střední délku pro: a) znaky "tečka", "čárka", "mezera", b) dvojice těchto znaků. Zhodnoťte výsledné délky. Řešení: a) střední hodnota mi vyšla 1.6 (Pavel S.) b) střední hodnota mi vyšla 3.12 (Pavel S.)
4) Bonus: Předvolební průzkum předpověděl dvěma stranám 30%, resp. 5% hlasů. Co dovedete říct o srovnání absolutních nebo relativních chyb těchto odhadů? Řešení:
Písemka z 25. 1. 2011
--Michal Zajačík 26. 1. 2011, 11:05 (UTC)
1) Profesor zapomíná v kavárně deštník s pravděpodobností 1/4 (za podmínky, že s ním dorazí). Po návštěvě tří kaváren zjistil, že nemá deštník. Určete pravděpodobnost, že profesor deštník zapomněl právě v i-té kavárně, kde i = 1,2,3. Řešení: P(a1)=1/4 * 1 = 1/4 -> pravděpodobnost, že ho ztratil v první kavárně, podmíněná tím, že jej tam donesl, ale protože je to první kavárna, donesl ho tam s pravděpodobností 1. P(a2)=(1-1/4)*1/4 -> pravděpodobnost, že ho ztratí v druhé podmíněná tím, že ho neztratil v první. P(a3)=(1-1/4)*(1-1/4)*1/4 -> pravděpodobnost, že ho ztratil v třetí podmíněná tím, že ho neztratil v první ani v druhé. P(a)=P(a1)+P(a2)+P(a3) -> pravděpodobnost, že ho vůbec někde zapomněl, nás zajímají podmíněné pravděpodobnosti: -> pravděpodobnost, že ho nechal v první za podmínky, že ho vůbec zapomněl, za využití toho, že . -> pravděpodobnost, že ho nechal v druhé za podmínky, že ho vůbec zapomněl -> pravděpodobnost, že ho nechal v třetí za podmínky, že ho vůbec zapomněl
2) Každý den jezdíte do školy i zpět metrem. Váš příchod na stanici je vždy náhodný a doba čekání na příjezd vlaku se pohybuje v rozmezí 0 až 3 minuty. Jaká je pravděpodobnost, že Vaše celková doba čekání během 23 dnů bude kratší než 80 minut? Uveďte použité předpoklady a výsledek vyjádřete ve tvaru F(x) pro nějakou distribuční funkci F. Opravené Řešení: Veličina X: čekání jedné jízdy, má rovnoměrné rozdělení na <0,3>. Veličina Y je součet 23*2 rovnoměrných rozdělení X, takže dle centrální limitní věty konverguje k normovanému normálnímu rozdělení. Odhadneme DY a EY (za pomocí vzorců pro rovnoměrné rozdělení veličiny X), dále pracujeme dle CLV a distribuční funkce normovaného normálního rozdělení: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chybné Řešení: Každý den jezdíte tam i zpět, takže denně čekáte 0-6 minut. Předpokládejme, že veličina X (čekání jeden den), má rovnomerné spojité rozdělení na <0,6>. Veličina Y (čekání za 23 dnů) má tedy také rovnoměrné spojité rozdělení, ale na <0,138>. Dále se odhadne odchylka a střední hodnota veličiny Y (podle vzorečků k rovnoměrnému rozdělení). Protože veličina Y je součet 23 rovnoměrných rozdělení, pak podle centrální limitní věty konverguje k normálnímu rozdělení. Takže vezmete vzorec distribuční funkce obecného normálního rozdělení, do něj dáte hodnoty průměru a rozptylu a vypočítáte hodnotu v bodě 80. /* Neni tu nahodou chyba? Prece soucet 23 rovnomernych rozdeleni X neni rozvomerne rozdeleni, ale Normalni = N(23m,23s^2). Takze zadne Y na <0,138> tam nevznikne. Nebo se mylim? (Dima) -> Je to rovnoměrné, představ si to jako rovnoměrné rozdělení zobrazené funkcí h(x)=23x. Dostal jsem za to bod. Dále postupuješ podle CLV, jak jsem psal. --Michal Zajačík 27. 1. 2011, 13:37 (UTC) /* Možná by stálo za úvahu se zamyslet nad tím, jestli pravděpodobnost čekání za 23 dní není menší u Y=0, než u Y=69. Určitě Y=69 mohu dostat více způsoby než Y=0 (nikdy nečekám). Je jasné, že čekání u jednoho příchodu je rovnoměrné rozdělení, ale u dvou tomu tak není. Tzn. předpoklad, že X má rovnoměrné rozdělení mi úplně nesedí. X a Y mají normální rozdělení. Jirka Blecha -> Nemyslím si, neboť veličina X (čekání jeden den) je součtem dvou veličin s rovnoměrným rozdělením. Veličina Y jakožto součet 23 rovnoměrných skutečně má normální rozdělení, ale ve smyslu konvergence dle centrální limitní věty. Na odhad střední hodnoty a rozptylu potřebuješ využít ono rovnoměrné. Opakuji, že tato část je nejspíše dobře, neb mi to opravující neškrtl, ale bodově ohodnotil. --Michal Zajačík 27. 1. 2011, 21:31 (UTC) /* Navara pise na svych strankach: "Součet (resp. výběrový průměr) z rovnoměrného rozdělení má rovnoměrné rozdělení." - Doufám, že takové hlouposti jste v kursu nepotkali, a pokud ano, upozorněte mě. MN" PROOF:http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/psi/ -> aktuality (Dima) -> máte pravdu, moje chyba. Stačí si představit součet hustot dvou rovnoměrných rozdělení. Ten pak není rovnoměrný ani náhodou. Opravil jsem řešení, tak, jak by to mělo vypadat. --Michal Zajačík 28. 1. 2011, 11:28 (UTC) /*Díky, tady na té stránce je toho víc o součtu(konvoluci) náhodných veličin. http://www.kmt.zcu.cz/person/Kohout/info_soubory/zimnisemestr/SS/pravd5.pdf Pro dumavé hlavy. Pro dvě náhodné veličiny dává součet 2 náhodných veličin s rovnoměrným rozdělením nějaké Simpsonovo rozdělení - trojúhelník. Pro více to jde k normálnímu. Jirka Blecha
3) Určete rychlost entropie markovského zdroje informace popsaného uvedeným diagramem, kde entropii uvažujte v podobě Nalezněte, jaká hodnota parametru maximalizuje rychlost entropie. Dále byl diagram, ze kterého se vytvořila matice přechodu Řešení: Nalezl se stabilní stav, kde hodnoty ve vektoru byly závislé na . Z toho se spočítala rychlost entropie, díky prvnímu a poslednímu řádku (při počítání entropie vyjdou nuly - diracovo rozdělení) to nějak hezky vyšlo, dostali jste funkci rychlosti zdroje na parametru . Zderivovat podle , položit rovno 0, hledat maximum.
4) (Bonus) Dokažte následující tvrzení: jsou-li A1,...,An nezávislé jevy, pak Řešení: Jevy nezávislé, tudíž Dále: Q.E.D.