PSI

Z OI wiki

Verze z 22. 1. 2011, 22:47

Info o předmětu

• A0B01PSI - Pravděpodobnost, statistika a teorie informace

• Přednášející: prof. Ing. Mirko Navara, DrSc.

• Cvičící: M. Petrík, L. Netnvich, T. Kroupa

Pravidla předmětu

Stránky předmětu

Studijní materiály

Závěrečné konzultační cvičení s prof. Navarou - poznámky (20. 12. 2010 14:30, bez záruky)

Zkoušky

Pisemka z 4.1. 2011

1) V populaci je infikovana 1/4 jedincu, ale jen u 2/3 se nakazka projevuje (a u zadnych neinfikovanych).
   Jaka je pravdepodobnost, ze jedinec bez priznaku neni infikovany? 
  
   Řešení: 
     výsledek je 9/10

2) Gen se vyskytuje ve 4 variantach A, B, C, D. Model predpoklada, ze B se vyskytuje 3x casteji nez A a D 3x casteji nez C.
   Odhadnete jejich pravdepodobnost na zaklade zjistenych cetnosti v tabulce.

   

     (nesmi se resit pomoci momentu (nenumericka data))
  
   Řešení: 
     Urci se, kolik by mely ty pravdepodobnosti teoreticky byt, tedy: , ,  a 

     Jelikoz soucet pravdepodobnosti ma byt jedna, tak se muze spocitat treba c - vyjde to myslim 
     a pak se sestavi ta verohodnost tj. 

     to se zlogaritmuje jelikoz se s tim lip pocita:

     

     zderivujeme, položíme rovno nule (hleda se maximum) a vyjde hodnota parametru 'a' (myslim ze to vyjde 5),
     dosadi se do tech teoretickych pravdepodobnosti a to je vysledek.

       /* Mne vyslo A=0,078125 B=0,234375 C=0,171875 a D=0,515625   Jeste nekomu to vyslo takhle? (souhlas, Venca H)

       /* tak zaprvé myslim, že je špatná úvaha a zadruhé P(A)=P(D)=P(B/3), nikoly P(D)=3c ??? pokud nesouhlasite tak prosim vysvětlit..

       /* Asi te zmatla formulace ulohy. Máš to chápat jako: Model predpoklada, ze B se vyskytuje 3x casteji nez A a dale model predpoklada, 
             ze D se vyskytuje 3x casteji nez C. (Ondra J.)

3) Uvazujte Markovuv retezec se stavy  a matici prechodu

   

   Urcete odpovidajici markovsky zdroj informace nad abecedou  a stanovte jeho rychlost entropie.
  
   Řešení: 
     /* vyšlo mi 0,3788804571 */ 
       // Zvlastni, mne vyslo 0,295 a pocatecni rozdeleni p=(4/11;4/11;3/11) no a stredni podminena entropie (coz je ta rychlost entropie)
          se rovna pouze 4/11*H(1/4,3/4) pac ty ostatni radky jsou diracovo rozdeleni. Jeste nekomu to tak vyslo? (souhlas s 0,295, Venca H)

4) Bonus: Jak by mohl vypadat popis poctu obeti dopravnich nehod pomovci Markovova retezce a klasifikace jeho stavu?
  
   Řešení:

Pisemka z 13.1. 2011

1) Máme tři modely rozdělení X,Y,Z dané tabulkou:
   
   
   
   Určete, který z modelů je nejlepší podle realizace:
   
   
   
   Řešení: 
     Tohle jsem nemel, ale co jsem koukal jinam tak se spocitala cetnost podle pravdepodobnosti
     a pak se porovnavala(nejak) s cetnosti z realizace. Mam pocit ze Z vychazi nejlip (souhlas se Z)

2) Zda bude pršet zítra je dané pouze tím,zda prší dnes. Dána matice přechodu:
   
   
  
   kde 0.7 je pravděpodobnost, že bude pršet zítra pokud pršelo dnes
     a 0.4 je pravděpodobnost, že bude pršet zítra pokud dnes nepršelo.
   
   Vypočítejte pravděpodobnost, že bude pršet za 4 dny pokud dnes pršelo
   
   Řešení: 
     nasobit matici (1,0) 4x matici pravdepodobnosti
     nebo rozkreslit jako strom (také uznáno :)) )
     výsledek: 0,5749

3) Bakterie 1 má pravděpodobnosti v DNA:
     P1(C)=P1(G)=0.355 P1(A)=P1(T)=0.145
   Bakterie 2: 
     P2(C)=P2(G)=P2(A)=P2(T)=0.25
   
   Rozhodněte, která bakterie je složitější (z hlediska informace na stejně dlouhém úseku DNA)
   
   Řešení: 
     Pres entropii, zase si nejsem vysledky jist, ale ta s mensi entropii je slozitejsi (nebo tak nejak to vysvetloval pri predavani vysledku)
     // Zde si dovolím nesouhlasit: složitější je ta s větší entropíí (ta druhá), neboť nám poskytne větší míru informace.

4) Bonus: X je náh.veličina, platí EX^2 < nekonečno. Dokažte, že pro každé a z R platí E(X - EX)^2 je menší nebo rovno E(X - a)^2

   Řešení: 
     Jednoduche upravy ze skript nakonec vyjde Neco^2 vetsi, rovno nez 0 coz plati

Pisemka z 20.1. 2011

1) Házíme mincí na čáru; náhodná veličina X udává vzdálenost hozené mince od čáry. Její rozdělení pravděpodobnosti je dáno hustotou:
   f(x) = 1-(x/2) pokud x patří do <0;2>,
             0    pokud x>2.
   Náhodná veličina Y = 1/x udává výhru (zisk) z jednoho hodu. Jaké je rozdělení (střední hodnota, rozptyl) náhodné veličiny Y?
   
   Řešení: 
     Na tehle pisemce jsem sice nebyl, ale zkusim nastinit reseni(snad i spravny:D).
     Nejpve zintegrujeme hustotu, cimz ziskame distribucni funkci. K te nasledne vytvorime funkci inverzni, tedy funkci kvantilovou.
     Tu zobrazime funkci h(u) = 1/u. Integralem dopocitame stredni hodnotu.(radeji to nekdo overte)
   

2) V cyklu délky 4 (viz obrázek) v každém rohu nezávisle vybereme postup po směru hod. ručiček s pravděpodobností 2/3,
   v opačném směru s pravděpodobností 1/3. Stanovte pravděpodobnosti stavů po 4 krocích, jestliže počáteční stav je 1.
   (obrázek byly 4 prázdný kolečka spojený čarama tak, že tvořily čtverec)
   
   Řešení: 
     matici (1,0,0,0) jsem 4x násobil maticí přechodu, vyšlo mi (41/81,0,40/81,0) (Pavel S.)

3) Morseova abeceda používá 3 znaky: "tečka", "čárka", "mezera". Předpokládejme, že pravděpodobnosti jejich výskytu ve
   zprávě jsou po řadě 0.4, 0.4, 0.2 a jsou nezávislé. Navrhněte binární Huffmanův kód a jeho střední délku pro:
   a) znaky "tečka", "čárka", "mezera",
   b) dvojice těchto znaků.
   Zhodnoťte výsledné délky.
   
   Řešení: 
     a) střední hodnota mi vyšla 1.6 (Pavel S.)
     b) střední hodnota mi vyšla 3.12 (Pavel S.)

4) Bonus: Předvolební průzkum předpověděl dvěma stranám 30%, resp. 5% hlasů. Co dovedete říct o srovnání absolutních
   nebo relativních chyb těchto odhadů?
   
   Řešení: