LAG

Z OI wiki

Verze z 13. 2. 2011, 22:41; Novakvo5 (diskuse | příspěvky)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)

Obsah

1 Info o předmětu
2 Pravidla předmětu
3 Studijní materiály
4 Zkoušky

	1. semestr	2. semestr	3. semestr	4. semestr	5. semestr	6. semestr
Povinné předměty	DMA ¤ LAG PR1 ¤ RPH	ALG ¤ BP1 ¤ LGR MA2 ¤ PR2	JAG ¤ PSI ¤ SPS	APO ¤ BP2 ¤ FYZ	OPT	SZZ - LS 2012
Inf. a poč. vědy			NUM ¤ OSS	DS ¤ FLP ¤ ZUI	RPZ
Počítačové syst.			EAM ¤ EM	DSP ¤ OSD	PKS ¤PSR ¤NVS
Softwarové syst.			OSS ¤ SI	ASS ¤ DS ¤ TUR	WA1
Volitelné předměty	ACM ¤ EPD ¤ ET1 ¤ FI1 ¤ HI1 ¤ HSD ¤ HT1 ¤ IA+AZK ¤ MME ¤ MMP ¤ MPS ¤ PAP ¤ PPR ¤ PRS ¤ RET ¤ SOJ ¤ UFI
Grafický minor	PGR ¤ MVR ¤ KMA ¤ MGA ¤ GRT

Info o předmětu

A0B01LAG - Lineární Algebra

Přednášející: prof. RNDr. Pavel Pták, DrSc.

Cvičící: Mgr. Michal Hroch, Mgr. Jana Šnupárková

Pravidla předmětu

Stránky předmětu na katedře matematiky

Studijní materiály

Olšák, P.: Úvod do algebry, zejména lineární

Pták, P.: Introduction to Linear Algebra (starší vydání přístupné elektronicky) (umístěno na FTP Katedry matematiky, delší načítání)

Přednášky na MIT

Diferenciální rovnice - poznámky z přednášek

HD VIDEO prednášky Olšáka pre obor STM, 5x90min

Vzorové písomky LAG

Zkoušky

Zkouška 8.2.2011

1a Najít kořeny polynomu hornerovým schematem. Polynom se mi nějak nevešel na fotku, takže nevím, jak vypadal. Kořeny byla celá čísla.

1b Nechť L je lineární prostor, a vektory a, b, c jsou lineárně nezávislé vektory z L. Utvořme vektory d = a - 3b + 2c, e = 2a + b - 4c, f = -2a +3b - c

určete, zda jsou vektory d, e, f lineárně závislé nebo nezávislé. Své kroky vysvětlete, strohý výpočet nestačí. Pokud používáte nějakou matematickou větu, zformulujte ji a ověřte její předpoklady.

2a řešte maticovou rovnost XA + X = O kde O je nulová matice (všude nuly) a

A = $LaTeX: \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

Výpočítejte pomocí vhodné inverzní matice. Tu hledejte determinantovou metodou.

2b řešte soustavu bohužel nekvalitní fotka, nemůžu to přečíst. Byla to homogenní soustava 4 rovnic, 5 neznámých, hodnost myslím 3.

Tvoří množina všech řešení lin. podprostor R5? Pozor: otázka byla položena přesně takto, ale odpověď bylo potřeba i zdůvodnit.

3a Lineární zobrazení l: R2 -> R3. Vůči bázím B1:{(2, 1), (3, 2)} a B2: {(4, 2, -1), (3, 1, 3), (2, 1, 0)}

A = $LaTeX: \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

Spočítat l(3, 1)

3b Definujte inverzní matici. Dokažte, že je určená jednoznačně.

4a Jsou dány body A, B, C: A = [3, 1, -2] B = [4, 2, 0] C = [-1, 3, -3]

dokažte, že tvoří trojúhelník a spočítejte jeho obsah. Nápověda: Veďte přímku AB a najděte vzdálenost přímky od C.

4b řešte soustavu diferenciálníc rovnic.:

A = $LaTeX: \begin{bmatrix} 5 & -2 & 2 \\ -1 & 4 & -1 \\ -4 & 4 & -1 \end{bmatrix}$

(není tam řetízek)

Zkouška 1.2.2011

1a P(x) = 5x^5 – 4x^4 + 80x + 16 Overit zda 1/5 je koren a pak najit všechny koreny.

1b Dokazat P(a) (nad tim celym je pruh) = P(a) (jen nad tim a je pruh)

2a najit reseni

  2  6  6  9 | 7
-14 -2  6 -3 | -13
 -7  4  9  6 | -2 
  3  4  3  6 | 6 
 -9 -2  3 -3 |-9

2b Spocitat determinant

Aii = i Aij = 2

  |1 2 2 . . . 2 2| 
  |2 2 2 . . . 2 2| 
  |2 2 3 . . . 2 2| 
  |.   ..        .| 
  |.      ..     .| 
  |2 2 . . . n-1 2| 
  |2 2 . . . 2   n|

Je to matice n,n

3a

 l(1,0,0) = (2,3) 
 l(0,1,0) = (1,-2) 
 l(0,0,1) = (-1,1)

overit zda je „na“ najit všechny vzory vektoru v=(3,1)

3b Matice typu (2,2) Plati l(X) det(X)

Dokazat, zda je zobrazeni linearni

4a Bodem A vest primku protínajíci a,b

 A = [2,0,2] 
 a: X = [3,-1,0] + s(1,-,1,0) 
 b: Y = [3,3,-1] + t(1,1,-1)

4b

  x1’ = -3x1 – x2 
  x2’ =   x1 – x2

najit fundamentalni system

Zkouška 11.1.2011

1A Napsat koreny polynoma: (vysledky: 2, -3, 1+i, 1-i)

        x^4 - x^3 -6x^2 + 14x -12

1B P5 je linearni prostor polynoma stupne <= 5. Necht' je P mnozina vsechnych polynoma z P5 ktery jsou delitelni s (x^2+1). Dokazte, ze je P linearni podprostor prostora P5.

2A Soustava s 5 nezamych a 4 rovnice (mela hodnotu 2)

2B Podobne jako vzor 3 / 2A, jenom tam bylo α misto -α pro B

3A Mame primky:

          p: X = [2, -5, 1] + t(3,-2,-1)
          q: Y = [5, 5, 11] + u(2, 3, 5)

Dokazat ze jsou mimobezky a najit jeho pricku pres bodu M = [-4, -5, 3]

3B Pres souradnicich dokazte ze u x v je kolme na u, kde jsou u a v vektory z V^3

4A Linearne zobrazeni je dano predpisem:

          l(0, 1, 1) = 3
          l(0, 1, -1) = 1
          l(2, 0, 1) = -1

Spocitat l(3, 4, 5). Najit bazy Ker(l) a Im(l).

4B Diferencialni rovnice:

           x1' = x1 + 2x2
           x2' = 2x1 + x2
          
           x1(0) = -1; x2(0)=2

Zkouška 5.2.2010

To samé, co 3.2. :)

Zkouška 3.2.2010

1A Pomocou hornera zistite hodnotu polynomu v bode 3.

1B Dokážte, že v polynome

        P(x) = a^6x^6  +  a^5x^5  +  ..  +  ax  +  a0

r deli a0, ak viete, ze r je koreň polynomu.

2A Normálna sústava rovníc o 5tich neznámich (3 riadky matice boli lin. závislé).

2B Na zákl. vlastností determinantu uvažujte hodnosť matice v závislosti na parametre p z R.

3A Maticová rovnosť AX=B.

3B Príklad podobný vzoru 2 / 3a) (http://math.feld.cvut.cz/hroch/vyuka/materialy/vzor.pdf)

4A Ako vzor 1/4a), neurčovalo sa či je zobraz. defin. korektne; ale spočítajte l(3,4,5) + nájsť bázu Ker(l) a Im(l).

4B Diferencialna rovnica, zadanie zo vzoru 2/pr.4b), pociatoč. podm. iné.

Zkouška 27.1.2010

1A Zostaviť polynom, ak viete že má korene 3 a 1+j

1B Nájsť bázu lineárneho priestoru matíc, ktoré mali tú vlastnosť, že súčet všetkých členov v ich riadku aj stĺpci aj na diagonálach bol rovnaký.

2A Normálna sústava rovníc o 5tich neznámich (3 riadky matice boli lin. závislé).

2B Boli zadané 4 vektory z R3 a každý mal jeden parameter - trebalo zistiť pre akú hodnotu parametra budú tie vektory LN.

3A Maticová rovnosť AX=B.

3B Dokázať vzorec na výpočet vzdielanosti bodu od priamky (Pták 4.5.3).

4A Nájsť kernel a image zobrazenia, ktoré bolo zadané normálnym predpisom.

4B Dokázať nejakú blbosť čo sa týkala podobnosti matíc :-).

Zkouška 25.1.2010

1A Užitím Hornera ukažte, že -2 je kořenem polynomu p(x)=x⁶+x⁵-11x⁴-13x³+26x²+20x-24 s násobností 3. Najděte všechny kořeny.

1B Ukažte,že neexistuje polynom, který by se rovnal funkci e^x na celém R. Může se e^x rovnat polynomu na něakém intervalu? (lze použít i výsledků diferencionálního počtu)

2A Řešení 3 rovin v závisloti na dvou parametrech.

2B Determinant matice, kde neznámá x byla pod diagonální maticí.

3A Zjistit pro jaká a existuje inverzní matice a tuto inverzní matici spočítat:

$LaTeX: \begin{bmatrix} 0 & 1 & a \\ 1 & 0 & a \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

3B Dvě přímky, zjistit, zda jsou mimoběžky; určit, jak se musí změnit jeden z bodů, aby byly rovnoběžné.

4A Lineární transformace zadaná dvěma vektory a Ker(l). Zjistit obraz určeného vektoru a určit její matici (NUTNO DOPLNIT).

4B Řešit diferenciální rovnici x'= Ax, kde

$LaTeX: A=\begin{bmatrix}2&-1\\1&0\end{bmatrix}$

Zkouška 22.1.2010

1A Užitím Hornera ukažte, že komplexní číslo j (komplexní jednotka) je kořenem polynomu p(x)=x⁴+3x²+2. Najděte všechny kořeny.

1B Je dán prostor antisymetrických matic 3x3 kde Aij=-Aij pro všechna i ≠ j. Jedná se o lineární podprostor prostoru všech matic 3x3? Najděte bázi.

2A Maticová rovnice: XA-B=XC

2B Spočtěte determinant matice A (5x5 a má vyjít -997 myslim).

$LaTeX: A = \begin{bmatrix}-2 & 1 &-3& -1 & 5\\1&-5&1&0&5\\1&3&-3&-1&4\\2&0&1&3&0\\-4&0&2&-1&0\end{bmatrix}$

3A Lineární zobrazení z R³ do R³:
l(4,0,-1) = (1,-1,1)
l(3,-1,1) = (0,1,2)
l(1,2,3) = (1,1,5)
Najděte Ker(l). Patří (1,1,3) do Img(l) ? (nepatří btw...)

3B Zobrazení l:z L do L s čarou je prosté. a {b1,b2,...,bn} je báze L. Dokažte, že {l(b1),l(b2),...,l(bn)} je báze Img(l).

4A Jsou dány přímky :
p: [-5,5,1]+t(3,2,-2)
q: [9,0,2]+u(6,-2,-1)
Ukažte, že se jedná o různoběžky a určete jejich vzdálenost.

4B Je dána matice zobrazení (3x3):

$LaTeX: A = \begin{bmatrix}1&-1&1\\1&1&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}$

Najděte fundamentální systém. (je tam řetízek).

Zkouška 15.1.2010

1A Užitím Hornera ukažte, že komplexní číslo j (komplexní jednotka) je kořenem polynomu (konkrétní polynom 6. stupně). Jsou další kořeny reálné?

1B a,b,c vektory z lin. prostoru L
d=a
e=a+b
f=a+b+c
dokažte, že <a,b,c>=<d,e,f>, (d,e,f jsou taky vektory), lze použít tvrzení o stabilitě lineárního obalu

2A klasická soustava 3 rovnice, 3 neznámé, pravá strana
pomocí A^-1 najděte řešení a potvrďte ho Cramerem

2B soustava v R⁵ o jedné rovnici (s pravou stranou).
Vyřešte soustavu. Je množina všech řešení lineární podprostor v R⁵? Zdůvodněte.

3A Je dáno zrcadlo (rovina) a 2 body M,N na téže straně zrcadla. Předpokládejme, že paprsek prochází bodem M. Ve kterém bodě se musí odrazit, aby procházel i bodem N?

3B V souřadnicích dokažte, že $LaTeX: u \times v$ je kolmý na u. (u,v jsou vektory z V₃, $LaTeX: \times$ je vektorový součin)

4A Dána matice lin. zobrazení (R³->R²) typu 2,3, báze B (3 vektory z R³) a báze B' (2 vektory z R²). Určete Ker(l).

4B Dokažte, že relace podobnosti matice je tranzitivní.

Zkouška 13.1.2010

1A Napiš a dokaž Moivrovu větu

1B pomocí Moivrovi věty vypočti x na 4 + 16 = 0

2A soustava rovnic, měla defect 3, napsat řešení

2B jsou dvě matice s parametry, diskutujte hodnost C = B + A² + A³ + ... + A⁷ v závislosti na parametru

3A Maticová rovnice ve tvaru XA = C zadané A i C vypočíst

3B víme, že číslo, číslo, číslo je dělitelné 19, aniž byste počítali determinat ukažte, že je dělitelný 19 - stejný příklad jako v těch návodných, jen ta matice byla transponovaná

4A bod, rovina, najít symetrický bod vzhledem k té rovině

4B soustava diferenciálních rovnic, ale jen dvě o dvouch. Bylo tam třeba vytvořit řetěz vlastních vektorů

Zkouška 11.1.2010

1A P(x)=x⁴ - x³ - 6x² + 14x - 12 Viete ze tento polynom ma presne 2 cele korene, najdite vsechy korene

1B necht P5 je prostor polynomu so stupnom 5 alebo menej. nech P je podmnozina P₅. a vsechny polynomy z P jsou delitelne polynomem (x2-1). Je P podprostor prostoru P₅? zduvodnete.

2A rieste rovnicu AX + A + X= 0 kde 0 je nulova matica

2B sustava 3 linearnych rovnic (3 nezname) s parametrom a a b (klasika to iste troch rovin, ale bez geometrickecho chapania)

3A su dane 2 priamky a bod A , najdite priamku ktora pretina obe zadane priamky cez bod A

3B dokazte ze plati : $LaTeX: a \times (b \times c)=(a c)b - (a b)c$

4A dane je linearne zobrazeni z R³ do R⁴. Najdite Ker(l)

     l(1,0, 1) = (1,1,-1,0)
     l(0,1,-1) = (1,0, 2,1)
     l(0,0, 1) = (3,1, 3,2)

4B rieste diferencialnu rovnicu x´=Ax, kde

$LaTeX: A = \begin{bmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{bmatrix}$

LAG