LAG
Z OI wiki
(→Studijní materiály) |
(→Zkouška 3.2.2010) |
||
Řádka 42: | Řádka 42: | ||
P(x) = a^6x^6 + a^5x^5 + .. + ax + a0 | P(x) = a^6x^6 + a^5x^5 + .. + ax + a0 | ||
r deli a0, ak viete, ze r je koreň polynomu. | r deli a0, ak viete, ze r je koreň polynomu. | ||
+ | |||
'''2A''' Normálna sústava rovníc o 5tich neznámich (3 riadky matice boli lin. závislé). | '''2A''' Normálna sústava rovníc o 5tich neznámich (3 riadky matice boli lin. závislé). | ||
Verze z 4. 2. 2010, 15:29
|
|
Info o předmětu
- Oficiální název: A0B01LAG - Lineární Algebra
- Přednášející: prof. RNDr. Pavel Pták, DrSc.
- Cvičící: Mgr. Michal Hroch, Mgr. Jana Šnupárková
Pravidla předmětu
http://math.feld.cvut.cz/0educ/pozad/a0b01lag.htm
Studijní materiály
Olšák, P.: Úvod do algebry, zejména lineární
Diferenciální rovnice - poznámky z přednášek
HD VIDEO prednášky Olšáka pre obor STM, 5x90min
Zkoušky
Zkouška 3.2.2010
1A Pomocou hornera zistite hodnotu polynomu v bode 3.
1B Dokážte, že v polynome
P(x) = a^6x^6 + a^5x^5 + .. + ax + a0
r deli a0, ak viete, ze r je koreň polynomu.
2A Normálna sústava rovníc o 5tich neznámich (3 riadky matice boli lin. závislé).
2B Na zákl. vlastností determinantu uvažujte hodnosť matice v závislosti na parametre p z R.
3A Maticová rovnosť AX=B.
3B Príklad podobný vzoru 2 / 3a) (http://math.feld.cvut.cz/hroch/vyuka/materialy/vzor.pdf)
4A Ako vzor 1/4a), neurčovalo sa či je zobraz. defin. korektne; ale spočítajte l(3,4,5) + nájsť bázu Ker(l) a Im(l).
4B Diferencialna rovnica, zadanie zo vzoru 2/pr.4b), pociatoč. podm. iné.
Zkouška 27.1.2010
1A Zostaviť polynom, ak viete že má korene 3 a 1+j
1B Nájsť bázu lineárneho priestoru matíc, ktoré mali tú vlastnosť, že súčet všetkých členov v ich riadku aj stĺpci aj na diagonálach bol rovnaký.
2A Normálna sústava rovníc o 5tich neznámich (3 riadky matice boli lin. závislé).
2B Boli zadané 4 vektory z R3 a každý mal jeden parameter - trebalo zistiť pre akú hodnotu parametra budú tie vektory LN.
3A Maticová rovnosť AX=B.
3B Dokázať vzorec na výpočet vzdielanosti bodu od priamky (Pták 4.5.3).
4A Nájsť kernel a image zobrazenia, ktoré bolo zadané normálnym predpisom.
4B Dokázať nejakú blbosť čo sa týkala podobnosti matíc :-).
Zkouška 25.1.2010
1A Užitím Hornera ukažte, že -2 je kořenem polynomu p(x)=x6+x5-11x4-13x3+26x2+20x-24 s násobností 3. Najděte všechny kořeny.
1B Ukažte,že neexistuje polynom, který by se rovnal funkci ex na celém R. Může se ex rovnat polynomu na něakém intervalu? (lze použít i výsledků diferencionálního počtu)
2A Řešení 3 rovin v závisloti na dvou parametrech.
2B Determinant matice, kde neznámá x byla pod diagonální maticí.
3A Zjistit pro jaká a existuje inverzní matice a tuto inverzní matici spočítat:
3B Dvě přímky, zjistit, zda jsou mimoběžky; určit, jak se musí změnit jeden z bodů, aby byly rovnoběžné.
4A Lineární transformace zadaná dvěma vektory a Ker(l). Zjistit obraz určeného vektoru a určit její matici (NUTNO DOPLNIT).
4B Řešit diferenciální rovnici x'= Ax, kde
Zkouška 22.1.2010
1A Užitím Hornera ukažte, že komplexní číslo j (komplexní jednotka) je kořenem polynomu p(x)=x4+3x2+2. Najděte všechny kořeny.
1B Je dán prostor antisymetrických matic 3x3 kde Aij=-Aij pro všechna i ≠ j. Jedná se o lineární podprostor prostoru všech matic 3x3? Najděte bázi.
2B Spočtěte determinant matice A (5x5 a má vyjít -997 myslim).
3A Lineární zobrazení z R3 do R3:
l(4,0,-1) = (1,-1,1)
l(3,-1,1) = (0,1,2)
l(1,2,3) = (1,1,5)
Najděte Ker(l). Patří (1,1,3) do Img(l) ? (nepatří btw...)
3B Zobrazení l:z L do L s čarou je prosté. a {b1,b2,...,bn} je báze L. Dokažte, že {l(b1),l(b2),...,l(bn)} je báze Img(l).
4A Jsou dány přímky :
p: [-5,5,1]+t(3,2,-2)
q: [9,0,2]+u(6,-2,-1)
Ukažte, že se jedná o různoběžky a určete jejich vzdálenost.
4B Je dána matice zobrazení (3x3):
Najděte fundamentální systém. (je tam řetízek).
Zkouška 15.1.2010
1A Užitím Hornera ukažte, že komplexní číslo j (komplexní jednotka) je kořenem polynomu (konkrétní polynom 6. stupně). Jsou další kořeny reálné?
1B a,b,c vektory z lin. prostoru L
d=a
e=a+b
f=a+b+c
dokažte, že <a,b,c>=<d,e,f>, (d,e,f jsou taky vektory), lze použít tvrzení o stabilitě lineárního obalu
2A klasická soustava 3 rovnice, 3 neznámé, pravá strana
pomocí A-1 najděte řešení a potvrďte ho Cramerem
2B soustava v R5 o jedné rovnici (s pravou stranou).
Vyřešte soustavu.
Je množina všech řešení lineární podprostor v R5? Zdůvodněte.
3A Je dáno zrcadlo (rovina) a 2 body M,N na téže straně zrcadla. Předpokládejme, že paprsek prochází bodem M. Ve kterém bodě se musí odrazit, aby procházel i bodem N?
3B V souřadnicích dokažte, že je kolmý na u. (u,v jsou vektory z V3, je vektorový součin)
4A Dána matice lin. zobrazení (R3->R2) typu 2,3, báze B (3 vektory z R3) a báze B' (2 vektory z R2). Určete Ker(l).
4B Dokažte, že relace podobnosti matice je tranzitivní.
Zkouška 13.1.2010
1A Napiš a dokaž Moivrovu větu
1B pomocí Moivrovi věty vypočti x na 4 + 16 = 0
2A soustava rovnic, měla defect 3, napsat řešení
2B jsou dvě matice s parametry, diskutujte hodnost C = B + A2 + A3 + ... + A7 v závislosti na parametru
3A Maticová rovnice ve tvaru XA = C zadané A i C vypočíst
3B víme, že číslo, číslo, číslo je dělitelné 19, aniž byste počítali determinat ukažte, že je dělitelný 19 - stejný příklad jako v těch návodných, jen ta matice byla transponovaná
4A bod, rovina, najít symetrický bod vzhledem k té rovině
4B soustava diferenciálních rovnic, ale jen dvě o dvouch. Bylo tam třeba vytvořit řetěz vlastních vektorů
Zkouška 11.1.2010
1A P(x)=x4 - x3 - 6x2 + 14x - 12 Viete ze tento polynom ma presne 2 cele korene, najdite vsechy korene
1B necht P5 je prostor polynomu so stupnom 5 alebo menej. nech P je podmnozina P5. a vsechny polynomy z P jsou delitelne polynomem (x2-1). Je P podprostor prostoru P5? zduvodnete.
2A rieste rovnicu AX + A + X= 0 kde 0 je nulova matica
2B sustava 3 linearnych rovnic (3 nezname) s parametrom a a b (klasika to iste troch rovin, ale bez geometrickecho chapania)
3A su dane 2 priamky a bod A , najdite priamku ktora pretina obe zadane priamky cez bod A
3B dokazte ze plati :
4A dane je linearne zobrazeni z R3 do R4. Najdite Ker(l)
l(1,0, 1) = (1,1,-1,0) |
4B rieste diferencialnu rovnicu x´=Ax, kde