LAG

Z OI wiki

Verze z 1. 2. 2010, 19:37

Info o předmětu

• Oficiální název: A0B01LAG - Lineární Algebra

• Stránky předmětu na katedře matematiky

• Přednášející: prof. RNDr. Pavel Pták, DrSc.

• Cvičící: Mgr. Michal Hroch, Mgr. Jana Šnupárková

Pravidla předmětu

Studijní materiály

Zkoušky

Zkouška 25.1.2010

1A Užitím Hornera ukažte, že -2 je kořenem polynomu p(x)=x^6+x^5-11x^4-13x^3+26x^2+20x-24 s násobností 3. Najděte všechny kořeny.

1B Ukažte,že neexistuje polynom, který by se rovnal funkci e^x na celém R. Může se e^x rovnat polynomu na něakém intervalu? (lze použít i výsledků diferencionálního počtu)

2A Řešení 3 rovin v závisloti na dvou parametrech.

2B Determinant matice, kde neznámá x byla pod diagonální maticí (NUTNO DOPLNIT).

3A Zjistit pro jaká a existuje inverzní matice a tuto inverzní matici spočítat: {(0,1,a),(1,0,a),(0,0,-1)}.

3B Dvě přímky, zjistit, zda jsou mimoběžky; určit, jak se musí změnit jeden z bodů, aby byly rovnoběžné.

4A Lineární transformace zadaná dvěma vektory a Ker(l). Zjistit obraz určeného vektoru a určit její matici (NUTNO DOPLNIT).

4B Řešit diferenciální rovnici x´= Ax, kde A={(2,-1),(1,0)}

Zkouška 22.1.2010

1A Užitím Hornera ukažte, že komplexní číslo j (komplexní jednotka) je kořenem polynomu p(x)=x⁴+3x²+2. Najděte všechny kořeny.

1B Je dán prostor antisymetrických matic 3x3 kde Aij=-Aij pro všechna i ≠ j. Jedná se o lineární podprostor prostoru všech matic 3x3? Najděte bázi.

2A Maticová rovnice: XA-B=XC
A={(1,2,-1);(0,1,1);(2,3,0)}
B={(1,1,0);(0,1,-1);(2,0,1)}
C={(0,2,1);(-1,2,-1);(1,1,0)}

2B Spočtěte determinant matice A (5x5 a má vyjít -997 myslim).
A={(-2,1,-3,-1,5);(1,-5,1,0,5);(1,3,-3,-1,4);(2,0,1,3,0);(-4,0,2,-1,0)}

3A Lineární zobrazení z R³ do R³:
l(4,0,-1)=(1,-1,1)
l(3,-1,1)=(0,1,2)
l(1,2,3)=(1,1,5)
Najděte Ker(l). Patří (1,1,3) do Img(l) ? (nepatří btw...)

3B Zobrazení l:z L do L s čarou je prosté. a {b1,b2,...,bn} je báze L. Dokažte, že {l(b1),l(b2),...,l(bn)} je báze Img(l).

4A Jsou dány přímky :
p: [-5,5,1]+t(3,2,-2)
q: [9,0,2]+u(6,-2,-1)
Ukažte, že se jedná o různoběžky a určete jejich vzdálenost.

4B Je dána matice zobrazení (3x3):
A={(1,-1,1);(1,1,-1);(0,-1,2)}
Najděte fundamentální systém. (je tam řetízek).

Zkouška 15.1.2010

1A Užitím Hornera ukažte, že komplexní číslo j (komplexní jednotka) je kořenem polynomu (konkrétní polynom 6. stupně). Jsou další kořeny reálné?

1B a,b,c vektory z lin. prostoru L
d=a
e=a+b
f=a+b+c
dokažte, že <a,b,c>=<d,e,f>, (d,e,f jsou taky vektory), lze použít tvrzení o stabilitě lineárního obalu

2A klasická soustava 3 rovnice, 3 neznámé, pravá strana
pomocí A^-1 najděte řešení a potvrďte ho Cramerem

2B soustava v R⁵ o jedné rovnici (s pravou stranou).
Vyřešte soustavu. Je množina všech řešení lineární podprostor v R⁵? Zdůvodněte.

3A Je dáno zrcadlo (rovina) a 2 body M,N na téže straně zrcadla. Předpokládejme, že paprsek prochází bodem M. Ve kterém bodě se musí odrazit, aby procházel i bodem N?

3B V souřadnicích dokažte, že u*v je kolmý na u. (u,v jsou vektory z V₃, * je vektorový součin)

4A Dána matice lin. zobrazení (R³->R²) typu 2,3, báze B (3 vektory z R³) a báze B' (2 vektory z R²). Určete Ker(l).

4B Dokažte, že relace podobnosti matice je tranzitivní.

Zkouška 13.1.2010

1A Napiš a dokaž Moivrovu větu

1B pomocí Moivrovi věty vypočti x na 4 + 16 = 0

2A soustava rovnic, měla defect 3, napsat řešení

2B jsou dvě matice s parametry, diskutujte hodnost C = B + A na 2 + A na 3 + ... + A na 7 v závislosti na parametru

3A Maticová rovnice ve tvaru XA = C zadané A i C vypočíst

3B víme, že číslo, číslo, číslo je dělitelné 19, aniž byste počítali determinat ukažte, že je dělitelný 19 - stejný příklad jako v těch návodných, jen ta matice byla transponovaná

4A bod, rovina, najít symetrický bod vzhledem k té rovině

4B soustava diferenciálních rovnic, ale jen dvě o dvouch. Bylo tam třeba vytvořit řetěz vlastních vektorů

Zkouška 11.1.2010

1A P(x)=x⁴ - x³ - 6x² + 14x - 12 Viete ze tento polynom ma presne 2 cele korene, najdite vsechy korene  

1B necht P5 je prostor polynomu so stupnom 5 alebo menej. nech P je podmnozina P₅. a vsechny polynomy z P jsou delitelne polynomem (x2-1). Je P podprostor prostoru P₅? zduvodnete.

2A rieste rovnicu AX + A + X= 0 kde 0 je nulova matica

2B sustava 3 linearnych rovnic (3 nezname) s parametrom a a b (klasika to iste troch rovin, ale bez geometrickecho chapania)

3A su dane 2 priamky a bod A , najdite priamku ktora pretina obe zadane priamky cez bod A

3B dokazte ze plati : a*(b*c)=(a.c)b - (a.b)c ( “ * “ jevektorovy sucin) ( “.“ je skalarny sucin)

4A dane je linearne zobrazeni z R³ do R⁴. Najdite Ker(l)

4B rieste diferencialnu rovnicu x´=Ax, kde A=