Diferenciální rovnice
Z OI wiki
(→řešení soustavy diferenciální pomocí vlastních vektorů) |
(→řešení soustavy diferenciální pomocí vlastních vektorů) |
||
Řádka 41: | Řádka 41: | ||
z teorie diferenciální rovnic plyne: množina všech řešení této diferenciální rovnice tvoří lineární podprostor prostoru všech vektorových funkcí a jeho dimenze je rovna n | z teorie diferenciální rovnic plyne: množina všech řešení této diferenciální rovnice tvoří lineární podprostor prostoru všech vektorových funkcí a jeho dimenze je rovna n | ||
- | (Potřebuje | + | (Potřebuje n lineárně nezávislých řešení) |
+ | |||
+ | '''Věta''' (Pro různá reálná vlastní čísla): | ||
+ | |||
+ | Uvažujme soustavu (homogenní s konstantními koeficienty) | ||
+ | |||
+ | <math>\vec u'(t) = A \vec u (t) \hspace{10mm} \vec u(t) = \begin{pmatrix}u_1(t)\\\vdots\\u_n(t)\end{pmatrix};t \in \mathbb R</math> | ||
+ | |||
+ | Nechť <math> A \in M^{n,n}</math> a nechť má n různých vlastních čísel <math>\lambda_1,...,\lambda_n</math>. Předpokládejme, že <math>\vec v_1,...,\vec v_n</math> jsou příslušné vlastní vektroy matice A. Pak množina vektorových funkcí <math>\{ \vec v_1e^{\lambda_1 t},\vec v_2e^{\lambda_2 t},...,\vec v_ne^{\lambda_n t} \}</math> tvoří bázi prostoru řešení této soustavy (fundamentální systém). | ||
+ | |||
+ | '''Důsledek''': Je-li <math>\vec u(t)</math> řešení této soustavy, pak lze najít koeficienty <math>c_1,c_2,...,c_n</math> tak, že <math>\vec u (t) = c_1\vec v_1e^{\lambda_1 t} + c_2\vec v_2e^{\lambda_2 t} + ... + c_n\vec v_ne^{\lambda_n t}</math> | ||
+ | |||
+ | '''Důkaz''': Dá se ukázat, že soustava <math>\vec v_1e^{\lambda_1 t},\vec v_2e^{\lambda_2 t},...,\vec v_ne^{\lambda_n t}</math> je lineárně nezávislá (to plyne z toho, že <math>e^{\lambda_1 t},e^{\lambda_2 t},...,e^{\lambda_n t}</math> je lineárně nezávislé v prostoru funci - Vandermondův determinant) |
Aktuální verze z 3. 2. 2010, 13:56
řešení soustavy diferenciální pomocí vlastních vektorů
Jedná se o poznámky z přednášek.
O metodě řešení soustavy diferenciální rovnic založené na vlastních vektorech (speciální případy)
Nechť a měli bychom najít vektorovou funkci takovou, aby platilo
Zkusíme
dosadíme
krátíme
je vlastní vektor matice A příslušný k
z teorie diferenciální rovnic plyne: množina všech řešení této diferenciální rovnice tvoří lineární podprostor prostoru všech vektorových funkcí a jeho dimenze je rovna n
(Potřebuje n lineárně nezávislých řešení)
Věta (Pro různá reálná vlastní čísla):
Uvažujme soustavu (homogenní s konstantními koeficienty)
Nechť a nechť má n různých vlastních čísel . Předpokládejme, že jsou příslušné vlastní vektroy matice A. Pak množina vektorových funkcí tvoří bázi prostoru řešení této soustavy (fundamentální systém).
Důsledek: Je-li řešení této soustavy, pak lze najít koeficienty tak, že
Důkaz: Dá se ukázat, že soustava je lineárně nezávislá (to plyne z toho, že je lineárně nezávislé v prostoru funci - Vandermondův determinant)