Diferenciální rovnice

Z OI wiki

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 3. 2. 2010, 13:41

řešení soustavy diferenciální pomocí vlastních vektorů

Jedná se o poznámky z přednášek.

O metodě řešení soustavy diferenciální rovnic založené na vlastních vektorech (speciální případy)

$LaTeX: (e^{\lambda t})' = \lambda e^{\lambda t}$

$LaTeX: \vec u (t) = \begin{pmatrix}u_1(t)\\u_2(t)\\\vdots\\u_n(t)\end{pmatrix} \hspace{10mm} \vec u' (t) = \begin{pmatrix}u'_1(t)\\u'_2(t)\\\vdots\\u'_n(t)\end{pmatrix}$

Nechť $LaTeX: A=||a_{ij}|| \in M^{n,n}$ a měli bychom najít vektorovou funkci $LaTeX: \vec u (t)$ takovou, aby platilo

$LaTeX: \begin{array}{cc} u_1'(t) = a_{11} u_1 (t) + a_{12} u_2(t) + ... + a_{1n} u_n (t)\\ u_2'(t) = a_{21} u_1 (t) + a_{22} u_2(t) + ... + a_{2n} u_n (t)\\ \vdots\\ u_n'(t) = a_{n1} u_1 (t) + a_{n2} u_2(t) + ... + a_{nn} u_n (t) \end{array}$

$LaTeX: A\vec u (t) = \vec u' (t)$

Zkusíme

$LaTeX: \vec u (t) = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{pmatrix} - e^{\lambda t}$

$LaTeX: \begin{matrix}u_1(t) = v_1 e^{\lambda t}\\\vdots\\u_n(t) = v_n e^{\lambda t}\end{matrix}$

$LaTeX: \left( \text{ nezname } \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{pmatrix} \text{ ani } \lambda \right)$

$LaTeX: \vec u (t) = A \vec u' (t)$ dosadíme

$LaTeX: \lambda \vec v e^{\lambda t} = A (\vec v e^{\lambda t}) = (A \vec v) e^{\lambda t} \Rightarrow$ krátíme $LaTeX: e^{\lambda t} \Rightarrow (A-\lambda E)\vec v = \vec o$

$LaTeX: \vec v$ je vlastní vektor matice A příslušný k $LaTeX: \lambda$

z teorie diferenciální rovnic plyne: množina všech řešení této diferenciální rovnice tvoří lineární podprostor prostoru všech vektorových funkcí a jeho dimenze je rovna n

(Potřebuje v LN řešení)

@@ Řádka 32: / Řádka 32: @@
 <math> \left( \text{ nezname } \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{pmatrix} \text{ ani } \lambda \right)</math>
+<math> \vec u (t) = A \vec u' (t)</math> dosadíme
+<math> \lambda \vec v e^{\lambda t} = A (\vec v e^{\lambda t}) = (A \vec v) e^{\lambda t} \Rightarrow </math> krátíme <math> e^{\lambda t} \Rightarrow (A-\lambda E)\vec v = \vec o</math>
+<math>\vec v</math> je vlastní vektor matice A příslušný k <math>\lambda</math>
+z teorie diferenciální rovnic plyne: množina všech řešení této diferenciální rovnice tvoří lineární podprostor prostoru všech vektorových funkcí a jeho dimenze je rovna n
+(Potřebuje v LN řešení)

Diferenciální rovnice

Z OI wiki

Verze z 3. 2. 2010, 13:41

řešení soustavy diferenciální pomocí vlastních vektorů

Zobrazení

Osobní nástroje

Navigace

Přehled předmětů

Hledat

Nástroje